Уравнение окружности в пространстве

Уравнение окружности в пространстве

Есть задача вывести уравнение (найти несколько точек) окружности по точке центра и нормали плоскости окружности. Я убрал точку центра и принял её (0,0,0) для простоты (потом просто прибавлю к результатам координаты моего центра).

В чем проблема. Уравнение сферы x²+y²+z²=R² Уравнение плоскости Ax+By+Cz=0, где N(A,B,C) — вектор нормаль.

Мое уравнение — это система последних двух уравнений.

Далее у меня затык. Мне нужно найти серию точек по окружности по часовой стрелке через шаг α=360°/N.

Я так понял, то данное уравнение мне необходимо не просто решить а еще и привести к сферическим координатам. Но как? Математику знаю нормально но тут явно затупил.

UPD: Есть еще некий вариант решения, зная (X,Y) нужных точек окружности на плоскости, получить (X,Y,Z) путём "вращения" осей взаимозависимости от N(A,B,C) но как это реализовать вопрос..

1 ответ 1

Вы пошли довольно сложным путем. Все делается проще.

Для начала, надо построить ортонормированную систему координат в плоскости окружности. Для этого надо найти любой вектор, перпендикулярный вектору нормали. Это — самая "некрасивая" часть решения. И в этом месте надо не бояться ставить условные операторы — согласно "теореме о причесывании ежа" из топологии, без них не обойтись.

Самый простой способ повернуть вектор на прямой угол — векторно умножить его на что-нибудь. Но если перемножаемые вектора будут близки по направлению — пострадает точность (а если они коллинеарны — будет ноль).

Поэтому предлагаю рассмотреть три базисных вектора (i, j и k) и умножить на тот, который "самый непохожий". Для этого найдем координату с наименьшим модулем. Пусть, для определенности, |A|

Окру́жность — замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки [1] : эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называется также и длина этого отрезка. Окружность разбивает плоскость на две части [2] — конечную внутреннюю и бесконечную внешнюю. Внутренность окружности называется кругом; граничные точки (то есть саму окружность) в зависимости от подхода, круг может включать или не включать.

Читайте также:  Принтер для печати наклеек самоклеящихся на авто

Практическое построение окружности возможно с помощью циркуля.

Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, далее этот случай исключается из рассмотрения, если не оговорено иное.

Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.

Далее всюду буква R <displaystyle R> обозначает радиус окружности.

Содержание

Хорды, дуги и касательные [ править | править код ]

1 — секущая, 2 — хорда AB (отмечена красным), 3 — сегмент (отмечен зелёным), 4 — дуга

Прямая может иметь с окружностью не более двух общих точек.

Прямая, пересекающая окружность в двух различных точках, называется секущей. Отрезок секущей, расположенный внутри окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром; тот же термин используется для его длины. Диаметр вдвое больше радиуса: D = 2 R , <displaystyle D=2R,> он делит окружность на две равные части и поэтому является её осью симметрии. Диаметр больше любой другой хорды [3] .

Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами круга. Два различных радиуса тоже разбивают круг на две части, называемые секторами круга (см. рисунки) [3] .

Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Для заданной окружности имеют место следующие свойства [3] .

  • Хорды, равноотстоящие от центра, равны. Обратно, если две хорды равны по длине, то они одинаково удалены от центра.
  • Равным хордам соответствуют равные дуги, и наоборот.

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу (и диаметру), проведенному в точке касания. То есть радиус является одновременно и нормалью к окружности [4] .

Читайте также:  Принцип работы спутникового телефона

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, не лежащей на окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности [5] .

Углы [ править | править код ]

Вписанный угол θ равен половине величины центрального угла 2θ, опирающегося на ту же самую дугу (розового цвета)

К расчёту длины дуги и хорды

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол может быть принят как угловая мера дуги, на которую он опирается. Центральный угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, в математике принимается в качестве единицы измерения углов, и называется радиан.

Из определения радиана следует, что длина L <displaystyle L> любой дуги окружности связана с центральным углом θ <displaystyle heta > , опирающимся на эту дугу, простым соотношением [6] : L = R θ . <displaystyle L=R heta .> (при этом длина хорды, стягивающей ту же дугу, равна 2 R sin ⁡ θ 2 L <displaystyle 2Rsin < heta over 2> ). Поскольку длина окружности равна 2 π R <displaystyle 2pi R> , с ростом угла значение его радианной меры меняется от 0 до 2 π . <displaystyle 2pi .>

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Внешний угол для вписанного угла — угол, образованный одной стороной и продолжением другой стороны вписанного угла (угол θ коричневого цвета на рис.). Внешний угол для вписанного угла равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду с другой стороны.

Угол между окружностью и прямой — угол между секущей прямой и одной из двух касательных к окружности в точке пересечения прямой и окружности.

  • Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°. Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности, всегда прямой (равен 90°).
  • Вписанный угол не меняет своей величины при перемещении его вершины вдоль окружности.
  • Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  • Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
  • Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги, лежащей в угле, и дуги напротив неё.
  • Угол между касательной и хордой, имеющими общую точку, равен половине угловой меры дуги, стягиваемой хордой.
Читайте также:  Explay pn 935 прошивка 4pda

Кардиоида

Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли — линия, представляющая геометрическое место точек, расстояние которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина, равная квадрату половины межфокусного расстояния.

В полярных координатах

Укажем, что точка М лежит на кривой, если выполнено условие

Вершины кривой находятся в точках

Площадь каждой петли S=a 2 .

В полярных координатах

Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0).

Укажем, что площадь кардиоиды , а длина L=8a.

6. Параметрическое задание линий

Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости текущих координат x и y от некоторого параметра t. Каждому значению t соответствуют два значения: x и y. При изменении параметра t текущая точка M(x,y) описывает некоторую кривую на плоскости.

Пусть M(x,y) — текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. В качестве параметра t выберем угол, который составляет радиус-вектор точки М с осью ox . Из треугольника ОМА:

параметрические уравнения окружности.

Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:

.

| следующая лекция ==>
Четырехлепестковые розы | Астроида

Дата добавления: 2013-12-13 ; Просмотров: 2897 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Ссылка на основную публикацию
Унитаз лира киров отзывы
Сырье также используется импортное, тщательно отобранное и экологически чистое — глина, гипс, каолин, полевой шпат, красители. Гарантия на производимые компанией...
Тор браузер андроид 4pda
Браузер Тор доступен не только для компьютеров и ноутбуков под управлением различных операционных систем. Разработчики обеспокоились и его выпуском для...
Тор браузер без установки
Tor Browser (ранее он назывался Tor Browser Bundle) – наиболее защищенный интернет-обозреватель из представленных в настоящий момент. Ввиду высокой популярности...
Унитаз ресса киров отзывы
Мы предлагаем унитазы росссийского производителя Роза (Киров). В нашем каталоге собрано 30 моделей по цене от 3 090р. Перейдите по...
Adblock detector