Укажите тройку компланарных векторов

Укажите тройку компланарных векторов

В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:

  • определение компланарных векторов;
  • условия компланарности векторов;
  • примеры задач на компланарность векторов.

Определение компланарных векторов

Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.

Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.

Условия компланарности векторов

  • Для 3-х векторов выполняется условие: если смешанное произведение 3-х векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.
  • Для 3-х векторов выполняется условие: если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
  • Для n-векторов выполняется условие: если среди векторов не более 2-х линейно независимых векторов, то они компланарны.

Примеры решения задач на компланарность векторов

Исследуем на компланарность векторы

a ¯ = ( 1 ; 2 ; 3 ) , b = ( 1 ; 1 ; 1 ) и c ¯ = ( 1 ; 2 ; 1 )

Как решить?

Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:

( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 2 3 1 1 1 1 2 1 = = 1 × 1 × 1 + 1 × 2 × 3 + 2 × 1 × 1 — 1 × 1 × 3 — 2 × 1 × 1 — 1 × 2 × 1 = 2 ≠ 0

Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.

Ответ: векторы не являются компланарными.

Докажем, что три вектора

a ¯ = ( 1 ; — 1 ; 2 ) , b = ( 0 ; 1 ; — 1 ) и c ¯ = ( 2 ; — 2 ; 4 ) компланарны.

Как решить?

Находим смешанное произведение данных векторов:

( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 — 1 2 0 1 — 1 2 — 2 4 = = 1 × 1 × 4 + 0 × ( — 2 ) × 2 + ( — 1 ) × ( — 1 ) × × 2 — 2 × 1 × 2 — ( — 2 ) × ( — 1 ) × 1 — 0 × ( — 1 )

Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.

Ответ: векторы являются компланарными.

Проверим, компланарны ли векторы

Как решить?

Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:

Читайте также:  Как отправить деньги на яндекс счет

1 1 1 1 2 0 0 — 1 1 3 3 3

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:

1 1 1 1 — 1 2 — 1 0 — 1 0 — 1 1 3 — 3 3 — 3 3 — 3

1 1 1 0 1 — 1 0 — 1 1 0 0 0

К 3-ей строке прибавляем 2-ю:

1 1 1 0 1 — 1 0 + 0 — 1 + 1 1 + ( — 1 ) 3 — 3 3 — 3 3 — 3

1 1 1 0 1 — 1 0 0 0 0 0 0

Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.

Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.

рис. 1

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Условия компланарности векторов

Примеры задач на компланарность векторов

Решение: найдем смешанное произведение векторов

=
1 1 1
1 2 1

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 — 1·1·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

=
1 3 1
2 2 2

= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 — 1·2·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 6 + 2 + 2 — 6 — 2 — 2 = 0

Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.

Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования

1 1 1
1 2 -1 1 3 3 3

из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3

1 1 1 1 1 1 1 — 1 2 — 1 0 — 1 1 -1 -1 1 -1 1 3 — 3 3 — 3 3 — 3

к 3-тей строке добавим 2-рую

1 1 1

1 1 1 1 -1 1 -1 0 + 0 -1 + 1 1 + (-1) 3 — 3 3 — 3 3 — 3

Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Вопрос по геометрии:

Укажите тройку компланарных векторов! Хелп! 60 баллов!
Даны векторы
n=a+2b-c
m=8a-b+7c
k+a+b-c
p=2a-b+3c

Ответы и объяснения 1

M p k
|2 -1 1|
|1 2 1|=8-3+1-(6+2-2)=0, следовательно, векторы компланарны (смешанное произведение =0)
|3 1 2|

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Ссылка на основную публикацию
Тор браузер андроид 4pda
Браузер Тор доступен не только для компьютеров и ноутбуков под управлением различных операционных систем. Разработчики обеспокоились и его выпуском для...
Телефон греется и тормозит что делать
Почему тормозит устройство на Andro >Прежде чем перейти непосредственно к решению проблем, стоит указать на их причины. Зная о том,...
Телефон завис на загрузке андроид
В результате поломки аппаратной части или сбоя в работе ОС любой Android-смартфон может перестать реагировать на кнопку включения. Частой можно...
Тор браузер без установки
Tor Browser (ранее он назывался Tor Browser Bundle) – наиболее защищенный интернет-обозреватель из представленных в настоящий момент. Ввиду высокой популярности...
Adblock detector