У последовательности xn подпоследовательности x2k

У последовательности xn подпоследовательности x2k

Некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную, возрастающую последовательность натуральных чисел k>: n1 0, ему отвечает номер N такой, что .(*)

Пусть — подпоследовательность. Покажем, что →а при k→¥.

Найдем такой номер , что >N, тогда, если k>k, то nk>N, поэтому из (*) следует, что , т.е. =а. ч.т.д.

Теорема 2 (теорема Больцано-Вейерштрасса).Из каждой ограниченной числовой последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Разделим промежуток [а;b] пополам. Хотя бы в одной половине этого промежутка будет содержаться бесконечное множество элементов последовательности n> (т.к. иначе во всем промежутке [а;b] их было бы конечное число). Обозначим эту половину через [а1;b1]. (Если обе половины промежутка [а;b] содержат бесконечное множество элементов последовательности n>, то через [а1;b1] обозначим одну и только одну из них.) b11=и а£а1 n1. Возьмем один из них. Пусть это будет Î[а2;b2], причем n2>n1.

Аналогичным образом можно найти Î[а3;b3] и n3>n2. Продолжая этот процесс, придем к последовательности ,,,…,,… такой, что n1 n1.

Уменьшим окрестность так, чтобы в нее не попал элемент и чтобы длина окрестности была не больше .

Выберем элемент ≠a из новой окрестности так, чтобы n3>n2. И так до бесконечности. В результате получим подпоследовательность →а, k→¥ (Т.к. получили, что ч.т.д.

Определение.Пусть дана последовательность n>. Предел ее подпоследовательности называется частичным пределом данной последовательности.

Примеры.1) Последовательность xn=n не имеет частичных пределов.

2) последовательность 1,0,1,0,… имеет 2 частичных предела 1 и 0.

Рассмотрим случай, когда множество А ограничено и сверху, и снизу. Тогда существуют минимальный и максимальный элементы множества А: min A=a и max A=b.

Определение. Наибольший из всех частичных пределов последовательности n> называется верхним пределом последовательности.

Наименьший – нижним пределом.

Обозначения: =— нижний предел, =— верхний предел.

Теорема 4. Для любого числа e>0 $N=N(e): "n>N все элементы последовательности n> входят в интервал (-e,+e).

Доказательство. Т.к. является точной нижней границей множества n>, то "e>0 $х¢ 0 $N=N(e): "n>N все элементы последовательности n> входят в окрестность (х-e,х+e)., а это и означает, что х – предел последовательности. Ч.т.д.

Дата добавления: 2014-01-07 ; Просмотров: 3914 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Определение подпоследовательности

Определение
Подпоследовательность последовательности – это последовательность , полученная из , удалением ряда ее членов без изменения порядка следования членов.

То есть подпоследовательность состоит из членов исходной последовательности с номерами , где – строго монотонная последовательность натуральных чисел.

Также можно сказать, что подпоследовательность последовательности – это подмножество множества , сохраняющее порядок следования членов.

Свойства подпоследовательностей

Далее мы используем понятие расширенного множества действительных чисел . Выражение означает, что a является или действительным числом, или элементом , или элементом .
См. «Бесконечно удаленные точки и их свойства».

1. Свойство подпоследовательностей сходящейся последовательности
Если последовательность сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу.
Доказательство ⇓

2. Свойство последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу
Если любая подпоследовательность последовательности содержит подпоследовательность, сходящуюся к одному и тому же числу , то и сама последовательность сходится к этому числу:
.
Доказательство ⇓

3. Свойство эквивалентности сходимости последовательности и всех ее подпоследовательностей
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда любая ее подпоследовательность сходится к одному числу .

Свойство 3 является следствием свойств 1 и 2.

Частичный предел последовательности

4. Теорема Больцано – Вейерштрасса
Из любой последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу .

Определение частичного предела последовательности
Точка называется частичным пределом последовательности , если существует подпоследовательность , сходящаяся к точке a .

Произвольная последовательность может иметь конечное или бесконечное число частичных пределов.

5. Свойство частичного предела последовательности
Точка является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.
Доказательство ⇓

Читайте также:  Как делать рамку в ворде по госту

Верхний и нижний частичный предел последовательности

Определение
Верхний (нижний) частичный предел последовательности – это число , которое является наибольшим (наименьшим) частичным пределом последовательности. Верхний и нижний частичные пределы обозначаются, соответственно, так:
.

6. Теорема о существовании верхнего и нижнего частичных пределов
У любой последовательности существует как верхний, так и нижний частичный пределы, принадлежащие расширенному множеству действительных чисел .
Доказательство ⇓

Рассмотрим множество частичных пределов последовательности. Эта теорема утверждает, что верхняя и нижняя грани этого множества являются ее элементами. То есть множество частичных пределов последовательности замкнуто, оно содержит свою границу. Для произвольного множества это может не выполняться. Например, для открытого интервала не существует наибольшего и наименьшего элемента, поскольку и верхняя грань b и нижняя a не принадлежит этому множеству.

Если последовательность не ограничена сверху, то ее верхний частичный предел равен плюс бесконечности:
.
Соответственно, если последовательность не ограничена снизу, то
.

Если последовательность ограничена, то ее верхний и нижний частичные пределы конечны.

7. Свойство верхнего и нижнего частичных пределов
Пусть – ограниченная последовательность. Пусть a – ее верхний (нижний) частичный предел. Тогда, для любого , в интервале содержится бесконечное число членов последовательности, а в полуинтервале – конечное или пустое множество.
Доказательство ⇓

8. Теорема о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами
Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
.
Частичные пределы равны друг другу тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
.
Доказательство ⇓

9. Связь верхних и нижних пределов между последовательностями n> и <–xn>.
Имеют место очевидное равенство:
.

10. Свойства верхних и нижних пределов суммы последовательностей
Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
;
,
где последовательности и ограничены.
Доказательство ⇓

11. Свойство верхних пределов произведения последовательностей
Пусть последовательность сходится к конечному положительному числу:
.
И пусть – любая последовательность. Тогда
.
Отсюда
.
Доказательство ⇓

Применяя равенство
,
можно получить другие подобные соотношения.

Доказательство свойств и теорем

Далее перечислены определения и свойства, которые мы будем использовать при доказательстве свойств подпоследовательностей.

Определение окрестности точки. Окрестностью конечной точки называется любой открытый интервал, содержащий эту точку: , где и – произвольные положительные числа.
См. «Определение окрестности точки».
Окрестностью точки называется множество ;
Окрестностью точки называется множество ,
где M – произвольное действительное число.
См. «Окрестности бесконечно удаленных точек».

Также мы будем использовать следующие обозначения для ε -окрестностей точек:
;
;
.

Определение предела последовательности. Точка является пределом последовательности , если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N , что все элементы последовательности с номерами n > N принадлежат этой окрестности.
См. «Универсальное определение предела последовательности».

Свойство (*) предела последовательности. Для того, чтобы точка являлась пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.
См. «Определение бесконечно большой последовательности: Свойство 1».

Доказательство свойства подпоследовательностей сходящейся последовательности

Формулировка ⇑ Действительно, поскольку последовательность сходится к числу a , то, согласно свойству (*) ⇑, за пределами любой окрестности точки a находится конечное число членов последовательности или пустое множество. Но, поскольку подпоследовательность получается из последовательности путем вычеркивания ряда ее членов, то за пределами любой окрестности точки a может находиться только конечное число членов подпоследовательности (или пустое множество). Согласно свойству (*) ⇑ это означает, что точка a является пределом подпоследовательности.

Доказательство свойства последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу

Формулировка ⇑ Допустим противное. Пусть последовательность не сходится к числу a . Тогда существует такая окрестность точки a , вне которой имеется бесконечное число членов (см. «Определение отсутствия предела последовательности»). Составим из этих членов подпоследовательность . Из нее нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся к a , поскольку все члены подпоследовательности находятся за пределами окрестности .

Читайте также:  Потеряно соединение с интернетом что делать

Мы получили противоречие, так как по условию теоремы, из любой подпоследовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу a .
Свойство доказано.

Доказательство свойства частичного предела последовательности

Пусть в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности . Покажем, что из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a .

Возьмем произвольную окрестность точки a : ⇑. В качестве первого члена подпоследовательности возьмем любой член последовательности, принадлежащий этой окрестности.

Возьмем более узкую окрестность: и выберем из нее второй член с номером .

И так далее. Поскольку любая окрестность точки a содержит бесконечное число членов последовательности, то мы на k — ом шаге можем выбрать член последовательности , принадлежащий окрестности с номером .

Так как член подпоследовательности с номером k принадлежит окрестности , то эта подпоследовательность сходится к числу a . Действительно, для любого имеется такой номер , что все члены подпоследовательности с номерами принадлежат ε — окрестности точки a .

Пусть теперь точка a является частичным пределом последовательности . Это означает, что существует подпоследовательность , сходящаяся к точке a . Тогда по свойству сходящихся последовательностей, в любой окрестности точки a находится бесконечное число членов подпоследовательности.

Доказательство теоремы о существовании верхнего и нижнего частичных пределов

Пусть у нас имеется некоторая последовательность . Докажем, что у нее существует верхний частичный предел.

Пусть последовательность неограниченна сверху. То есть для любого числа M существует член последовательности , превышающий M : . В свою очередь существует член последовательности , превышающий : . Продолжая подобные рассуждения мы приходим к выводу, что существует бесконечное число членов последовательности, превышающих M . Поскольку это утверждение справедливо для любого числа M , то в любой окрестности точки содержится бесконечное число членов последовательности . Тогда по свойству 4 ⇑, из последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к .

В этом случае точка является верхним частичным пределом последовательности.

Пусть последовательность ограничена сверху и при этом любой отрезок содержит только конечное число членов последовательности.

В этом случае последовательность сходится к . Точка является единственным частичным пределом последовательности – как верхним, так и нижним.

Пусть последовательность ограничена сверху и при этом существует отрезок , содержащий бесконечное число членов последовательности.

В этом случае поступаем как при доказательстве теоремы Больцано – Вейерштрасса, применяя систему вложенных отрезков. Делим отрезок пополам. Если правый отрезок содержит бесконечное число членов последовательности, то следующим отрезком будет . В противном случае выбираем левый отрезок . Из отрезка выбираем первый член подпоследовательности .

Затем делим отрезок пополам. Если в правой половине бесконечное число членов последовательности, то выбираем ее. В противном случае выбираем левую половину. Получаем отрезок . Из него выбираем второй член подпоследовательности с номером . И так далее.

В результате получаем систему вложенных отрезков

и подпоследовательность . Поскольку длины отрезков стремятся к нулю, то согласно лемме о вложенных отрезках, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам. Поскольку , то .

Поскольку мы выбирали самые правые отрезки с бесконечным числом членов, то точка c является верхним частичным пределом последовательности.

Аналогичным способом можно доказать, что у последовательности существует нижний частичный предел. Для этого сначала рассматриваем последовательность, неограниченную снизу. В конце рассматриваем последовательность, ограниченную снизу и имеющую бесконечное число членов в отрезке . Только здесь, при делении отрезков, мы выбираем левый отрезок, если он содержит бесконечное число членов последовательности.

Доказательство свойства верхнего и нижнего частичных пределов

Пусть точка a является верхним (нижним) частичным пределом последовательности . Тогда, согласно свойству 4 ⇑, в любой окрестности этой точки, в том числе и в интервале , содержится бесконечное число членов последовательности.

Докажем, что в полуинтервале содержится конечное число членов последовательности. Допустим противное, что в этом полуинтервале содержится бесконечное число членов. Тогда по теореме Больцано – Вейерштрасса ⇑ из них можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Согласно свойствам неравенств, предел b этой подпоследовательности удовлетворяет неравенству , то есть больше (меньше) a . Возникает противоречие, поскольку a является верхним (нижним) частичным пределом последовательности.

Читайте также:  Что лучше oled или qled телевизоры

Доказательство теоремы о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами

Пусть последовательность сходится к числу a : .
Тогда согласно свойству 1 ⇑?, любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому .

Пусть . И пусть a – конечное число. Согласно свойству 6 ⇑, для любого , интервалу не принадлежат только конечное число членов последовательности. Тогда согласно свойству (*) ⇑,
.

Пусть . Тогда, для любого конечного числа M , неравенство выполняется только для конечного числа членов . Отсюда .
Пусть . Тогда неравенство выполняется только для конечного числа членов . Поэтому .

Доказательство свойств верхних и нижних пределов суммы последовательностей

Докажем, что .
Из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
Из выберем сходящуюся подпоследовательность . Далее из выберем сходящуюся подпоследовательность .

Тогда последовательность является подпоследовательностью по отношению к . Согласно свойству 1 ⇑, их пределы равны:
.
Также и последовательность является подпоследовательностью по отношению к . Поэтому она сходится.

Докажем второе неравенство:
.
Умножим первое неравенство на – 1 :
.
Применим свойство 8 ⇑:
.

Доказательство свойства верхних пределов произведения последовательностей

Из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
По условию, последовательность сходится к числу a . Тогда и ее подпоследовательность , согласно свойству 1 ⇑, также сходится к числу a . По свойству предела произведения последовательностей, последовательность сходится и
.
Поскольку , то
(10.1) .

Аналогично предыдущему, из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
Из выберем сходящуюся подпоследовательность . Тогда
;
(10.2) .

Из (10.1) и (10.2) следует, что
.
Свойство доказано.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 21-12-2017

Вопрос-Ответ → Раздел «Математика, физика, информатика, экономика» → Тема «Математический анализ»
1. KirinkinaEI
2. PonomarevaMV3
3. LobanovaEV2
4. TihonovAU2
5. DrosuAN
6. ZhukovskiiEA
7. MutafianGS
8. KoshkinaLB
9. BabusenkoNV
10. ZoteevAV2
11. EnikeevAF
12. LarionovaAV
13. GoldaevaAA
14. PolikarpovaTV
15. Диана
16. GospodarikovAA
17. ShaposhnikovaEV3
18. StepchenkoIF
19. TamarovDA
20. ArakelyanLA2
21. AmosovBA
22. MezentsevaZA
23. IvanovaNS2
24. PopovaUI
25. BergUA
26. PomogaevDK
27. AgishevaDK
28. YakovlevaEA3
29. SolntsevaMO
30. KatinaAV2

Чтобы найти супремум (последовательности просто как числового множества, без учёта упорядоченности), рассмотрите две подпоследовательности: с чётными номерами и с нечётными. Там всё тривиально.

Аналогично с инфимумом.

Ну и так как последовательность сходится, то все её подпоследовательности сходятся к тому же пределу, что и она сама. То есть верхний и нижний пределы совпадают с пределом.

Кстати, я ошибся. Зрение подвело. У Вас там последнее слагаемое к [m]0[/m] не стремится.

Прочитайте определения инфимума <числового множества>, супремума, верхнего и нижнего пределов.

Извините, ребёнку сказку рассказывал.

Супремум находим просто как максимальное значение элементов объединения 2 множеств, построенных из элементов указанных подпоследовательностей. Это просто, ибо подпоследовательности монотонны. Должно получиться [m]1,15[/m]. Аналогично инфимум — как минимум. Должно получиться [m]0,1[/m].

Предел последовательности не существует (последовательность расходится), так как [m]x_<2k>[/m] и [m]x_<2k-1>[/m] сходятся к разным пределам.

Верхний предел — это супремум (точная верхняя грань) пределов всевозможных подпоследовательностей. Но из этих подпоследовательностей сходятся лишь те, которые содержат не больше, чем конечное количество элементов одной из подпоследовательностей. Иначе, то есть когда мы берём бесконечно много элементов с чётными и бесконечно много элементов с нечётными номерами, сходимости быть не может — это противоречило бы теореме локализации. Значит, всё множество пределов подпоследовательностей состоит всего лишь из двух чисел, а именно [m]1,15[/m] и [m]0,1[/m]. Здесь и выбираем нужное.

Ссылка на основную публикацию
Тор браузер андроид 4pda
Браузер Тор доступен не только для компьютеров и ноутбуков под управлением различных операционных систем. Разработчики обеспокоились и его выпуском для...
Телефон греется и тормозит что делать
Почему тормозит устройство на Andro >Прежде чем перейти непосредственно к решению проблем, стоит указать на их причины. Зная о том,...
Телефон завис на загрузке андроид
В результате поломки аппаратной части или сбоя в работе ОС любой Android-смартфон может перестать реагировать на кнопку включения. Частой можно...
Тор браузер без установки
Tor Browser (ранее он назывался Tor Browser Bundle) – наиболее защищенный интернет-обозреватель из представленных в настоящий момент. Ввиду высокой популярности...
Adblock detector