Теорема о единственном частичном пределе

Теорема о единственном частичном пределе

Вопросы к коллоквиуму по введению в математический анализ для студентов первого курса 2015–2016 учебного года

  1. Счетность множества рациональных чисел, ненесчетность множества действительных (вещественных) чисел.
  2. Теорема о (точной) верхней грани.
  3. Единственность предела сходящейся последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
  4. Бесконечно малые последовательности и их свойства.
  5. Свойства пределов, связанные с неравенствами.
  6. Арифметические операции со сходящимися последовательностями.
  7. Теорема о пределе ограниченной монотонной последовательности.
  8. Число e.
  9. Теорема Кантора о вложенных отрезках.
  10. Подпоследовательности и частичные пределы.
  11. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
  12. Теорема о единственном частичном пределе (для потока А.Ю. Петровича).
  13. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
  14. Определение предела функции в точке в терминах окрестностей и в терминах последовательностей (по Коши и по Гейне), их эквивалентность.
  15. Критерий Коши существования предела функции.
  16. Существование односторонних пределов у монотонных функций.
  17. Непрерывность функции в точке. Непрерывность сложной функции.
  18. Ограниченность функции, непрерывной на отрезке.
  19. Достижимость (точной) верхней и (точной) нижней граней функцией, непрерывной на отрезке.
  20. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
  21. Теорема об обратной функции.

Определение подпоследовательности

Определение
Подпоследовательность последовательности – это последовательность , полученная из , удалением ряда ее членов без изменения порядка следования членов.

То есть подпоследовательность состоит из членов исходной последовательности с номерами , где – строго монотонная последовательность натуральных чисел.

Также можно сказать, что подпоследовательность последовательности – это подмножество множества , сохраняющее порядок следования членов.

Свойства подпоследовательностей

Далее мы используем понятие расширенного множества действительных чисел . Выражение означает, что a является или действительным числом, или элементом , или элементом .
См. «Бесконечно удаленные точки и их свойства».

1. Свойство подпоследовательностей сходящейся последовательности
Если последовательность сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу.
Доказательство ⇓

2. Свойство последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу
Если любая подпоследовательность последовательности содержит подпоследовательность, сходящуюся к одному и тому же числу , то и сама последовательность сходится к этому числу:
.
Доказательство ⇓

3. Свойство эквивалентности сходимости последовательности и всех ее подпоследовательностей
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда любая ее подпоследовательность сходится к одному числу .

Свойство 3 является следствием свойств 1 и 2.

Частичный предел последовательности

4. Теорема Больцано – Вейерштрасса
Из любой последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу .

Определение частичного предела последовательности
Точка называется частичным пределом последовательности , если существует подпоследовательность , сходящаяся к точке a .

Произвольная последовательность может иметь конечное или бесконечное число частичных пределов.

5. Свойство частичного предела последовательности
Точка является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.
Доказательство ⇓

Верхний и нижний частичный предел последовательности

Определение
Верхний (нижний) частичный предел последовательности – это число , которое является наибольшим (наименьшим) частичным пределом последовательности. Верхний и нижний частичные пределы обозначаются, соответственно, так:
.

6. Теорема о существовании верхнего и нижнего частичных пределов
У любой последовательности существует как верхний, так и нижний частичный пределы, принадлежащие расширенному множеству действительных чисел .
Доказательство ⇓

Рассмотрим множество частичных пределов последовательности. Эта теорема утверждает, что верхняя и нижняя грани этого множества являются ее элементами. То есть множество частичных пределов последовательности замкнуто, оно содержит свою границу. Для произвольного множества это может не выполняться. Например, для открытого интервала не существует наибольшего и наименьшего элемента, поскольку и верхняя грань b и нижняя a не принадлежит этому множеству.

Если последовательность не ограничена сверху, то ее верхний частичный предел равен плюс бесконечности:
.
Соответственно, если последовательность не ограничена снизу, то
.

Если последовательность ограничена, то ее верхний и нижний частичные пределы конечны.

7. Свойство верхнего и нижнего частичных пределов
Пусть – ограниченная последовательность. Пусть a – ее верхний (нижний) частичный предел. Тогда, для любого , в интервале содержится бесконечное число членов последовательности, а в полуинтервале – конечное или пустое множество.
Доказательство ⇓

8. Теорема о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами
Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
.
Частичные пределы равны друг другу тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
.
Доказательство ⇓

9. Связь верхних и нижних пределов между последовательностями n> и <–xn>.
Имеют место очевидное равенство:
.

10. Свойства верхних и нижних пределов суммы последовательностей
Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
;
,
где последовательности и ограничены.
Доказательство ⇓

11. Свойство верхних пределов произведения последовательностей
Пусть последовательность сходится к конечному положительному числу:
.
И пусть – любая последовательность. Тогда
.
Отсюда
.
Доказательство ⇓

Применяя равенство
,
можно получить другие подобные соотношения.

Доказательство свойств и теорем

Далее перечислены определения и свойства, которые мы будем использовать при доказательстве свойств подпоследовательностей.

Определение окрестности точки. Окрестностью конечной точки называется любой открытый интервал, содержащий эту точку: , где и – произвольные положительные числа.
См. «Определение окрестности точки».
Окрестностью точки называется множество ;
Окрестностью точки называется множество ,
где M – произвольное действительное число.
См. «Окрестности бесконечно удаленных точек».

Также мы будем использовать следующие обозначения для ε -окрестностей точек:
;
;
.

Определение предела последовательности. Точка является пределом последовательности , если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N , что все элементы последовательности с номерами n > N принадлежат этой окрестности.
См. «Универсальное определение предела последовательности».

Читайте также:  Ips матрица черный цвет

Свойство (*) предела последовательности. Для того, чтобы точка являлась пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.
См. «Определение бесконечно большой последовательности: Свойство 1».

Доказательство свойства подпоследовательностей сходящейся последовательности

Формулировка ⇑ Действительно, поскольку последовательность сходится к числу a , то, согласно свойству (*) ⇑, за пределами любой окрестности точки a находится конечное число членов последовательности или пустое множество. Но, поскольку подпоследовательность получается из последовательности путем вычеркивания ряда ее членов, то за пределами любой окрестности точки a может находиться только конечное число членов подпоследовательности (или пустое множество). Согласно свойству (*) ⇑ это означает, что точка a является пределом подпоследовательности.

Доказательство свойства последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу

Формулировка ⇑ Допустим противное. Пусть последовательность не сходится к числу a . Тогда существует такая окрестность точки a , вне которой имеется бесконечное число членов (см. «Определение отсутствия предела последовательности»). Составим из этих членов подпоследовательность . Из нее нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся к a , поскольку все члены подпоследовательности находятся за пределами окрестности .

Мы получили противоречие, так как по условию теоремы, из любой подпоследовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу a .
Свойство доказано.

Доказательство свойства частичного предела последовательности

Пусть в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности . Покажем, что из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a .

Возьмем произвольную окрестность точки a : ⇑. В качестве первого члена подпоследовательности возьмем любой член последовательности, принадлежащий этой окрестности.

Возьмем более узкую окрестность: и выберем из нее второй член с номером .

И так далее. Поскольку любая окрестность точки a содержит бесконечное число членов последовательности, то мы на k — ом шаге можем выбрать член последовательности , принадлежащий окрестности с номером .

Так как член подпоследовательности с номером k принадлежит окрестности , то эта подпоследовательность сходится к числу a . Действительно, для любого имеется такой номер , что все члены подпоследовательности с номерами принадлежат ε — окрестности точки a .

Пусть теперь точка a является частичным пределом последовательности . Это означает, что существует подпоследовательность , сходящаяся к точке a . Тогда по свойству сходящихся последовательностей, в любой окрестности точки a находится бесконечное число членов подпоследовательности.

Доказательство теоремы о существовании верхнего и нижнего частичных пределов

Пусть у нас имеется некоторая последовательность . Докажем, что у нее существует верхний частичный предел.

Пусть последовательность неограниченна сверху. То есть для любого числа M существует член последовательности , превышающий M : . В свою очередь существует член последовательности , превышающий : . Продолжая подобные рассуждения мы приходим к выводу, что существует бесконечное число членов последовательности, превышающих M . Поскольку это утверждение справедливо для любого числа M , то в любой окрестности точки содержится бесконечное число членов последовательности . Тогда по свойству 4 ⇑, из последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к .

В этом случае точка является верхним частичным пределом последовательности.

Пусть последовательность ограничена сверху и при этом любой отрезок содержит только конечное число членов последовательности.

В этом случае последовательность сходится к . Точка является единственным частичным пределом последовательности – как верхним, так и нижним.

Пусть последовательность ограничена сверху и при этом существует отрезок , содержащий бесконечное число членов последовательности.

В этом случае поступаем как при доказательстве теоремы Больцано – Вейерштрасса, применяя систему вложенных отрезков. Делим отрезок пополам. Если правый отрезок содержит бесконечное число членов последовательности, то следующим отрезком будет . В противном случае выбираем левый отрезок . Из отрезка выбираем первый член подпоследовательности .

Затем делим отрезок пополам. Если в правой половине бесконечное число членов последовательности, то выбираем ее. В противном случае выбираем левую половину. Получаем отрезок . Из него выбираем второй член подпоследовательности с номером . И так далее.

В результате получаем систему вложенных отрезков

и подпоследовательность . Поскольку длины отрезков стремятся к нулю, то согласно лемме о вложенных отрезках, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам. Поскольку , то .

Поскольку мы выбирали самые правые отрезки с бесконечным числом членов, то точка c является верхним частичным пределом последовательности.

Аналогичным способом можно доказать, что у последовательности существует нижний частичный предел. Для этого сначала рассматриваем последовательность, неограниченную снизу. В конце рассматриваем последовательность, ограниченную снизу и имеющую бесконечное число членов в отрезке . Только здесь, при делении отрезков, мы выбираем левый отрезок, если он содержит бесконечное число членов последовательности.

Доказательство свойства верхнего и нижнего частичных пределов

Пусть точка a является верхним (нижним) частичным пределом последовательности . Тогда, согласно свойству 4 ⇑, в любой окрестности этой точки, в том числе и в интервале , содержится бесконечное число членов последовательности.

Докажем, что в полуинтервале содержится конечное число членов последовательности. Допустим противное, что в этом полуинтервале содержится бесконечное число членов. Тогда по теореме Больцано – Вейерштрасса ⇑ из них можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Согласно свойствам неравенств, предел b этой подпоследовательности удовлетворяет неравенству , то есть больше (меньше) a . Возникает противоречие, поскольку a является верхним (нижним) частичным пределом последовательности.

Доказательство теоремы о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами

Пусть последовательность сходится к числу a : .
Тогда согласно свойству 1 ⇑?, любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому .

Читайте также:  Как оплачивать картой с телефона в магазине

Пусть . И пусть a – конечное число. Согласно свойству 6 ⇑, для любого , интервалу не принадлежат только конечное число членов последовательности. Тогда согласно свойству (*) ⇑,
.

Пусть . Тогда, для любого конечного числа M , неравенство выполняется только для конечного числа членов . Отсюда .
Пусть . Тогда неравенство выполняется только для конечного числа членов . Поэтому .

Доказательство свойств верхних и нижних пределов суммы последовательностей

Докажем, что .
Из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
Из выберем сходящуюся подпоследовательность . Далее из выберем сходящуюся подпоследовательность .

Тогда последовательность является подпоследовательностью по отношению к . Согласно свойству 1 ⇑, их пределы равны:
.
Также и последовательность является подпоследовательностью по отношению к . Поэтому она сходится.

Докажем второе неравенство:
.
Умножим первое неравенство на – 1 :
.
Применим свойство 8 ⇑:
.

Доказательство свойства верхних пределов произведения последовательностей

Из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
По условию, последовательность сходится к числу a . Тогда и ее подпоследовательность , согласно свойству 1 ⇑, также сходится к числу a . По свойству предела произведения последовательностей, последовательность сходится и
.
Поскольку , то
(10.1) .

Аналогично предыдущему, из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
Из выберем сходящуюся подпоследовательность . Тогда
;
(10.2) .

Из (10.1) и (10.2) следует, что
.
Свойство доказано.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 21-12-2017

Определение 3.16. Если $ < a_ n>$ числовая последовательность, $ < n_ k>$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность $ < b_ k>$, где $forall kin mathbb colon b_ k = a_$, называют подпоследовательностью $ < a_ n>$. Обозначение. $< a_> $

Лемма 3.4. Если последовательность имеет предел в $overline<mathbb >$, то любая её подпоследовательность имеет тот же предел.

$lacktriangle $ Пусть $lim limits _a_ n = a, < a_> $ — подпоследовательность $ < a_ n>$.

Покажем, что $forall k in mathbb colon n_ k geqslant k$.

ММИ: для $k=1 n_1 geqslant 1$ — верно. Пусть неравенство выполняется для любого $k$. Тогда оно выполняется и для $k+1$: $n_ > n_ geqslant k Rightarrow n_ geqslant k+1$.

$lim limits _a_ n = a Rightarrow forall varepsilon > 0 exists N_varepsilon in mathbb forall n > N_varepsilon colon a_ n in B_varepsilon (a)$. Тогда $forall k > N_varepsilon colon $ $n_ k > k > N_varepsilon Rightarrow $ $a_ in

B_varepsilon (a)$, т.е. $lim limits _a_ = a$.

Определение 3.17. Точка $ain overline<mathbb >$ называется частичным пределом $ < a_ n>$, если $exists < a_> $ — подпоследовательность $ < a_ n>$, т.ч. $lim limits _a_ = a$.

Теорема 3.11 (Критерий частичного предела). $a in overline<mathbb >$ — частичный предел $ < a_ n>$ $Leftrightarrow $
$ forall varepsilon > 0 B_varepsilon (a)$ содержит бесконечно много членов $a_ n$ (т.е. $< n in mathbb colon a_ n in B_varepsilon (a)> $ — бесконечно).

$lacktriangle $ ($Rightarrow $) Пусть $a$ — частичный предел $ < a_ n>$ $Rightarrow $$exists < a_> $ — подпоследовательность $ < a_ n>$,
что $a = lim limits _< a_
> $. Тогда $forall varepsilon > 0 exists N forall k > Ncolon a_ in B_varepsilon (a) Rightarrow $ в $B_varepsilon (a)$ содержится бесконечное число членов $< a_> $, а следовательно, и самой последовательности $ < a_ n>$.

($Leftarrow $) Пусть в любой окрестности $B_varepsilon (a)$ точки $a in overline<mathbb >$ содержится бесконечное число членов $< a_> $. Выберем $n_1 in mathbb colon a_ in B_1(a)$. Если уже выбраны $n_1, n_2, ldots , n_ m in mathbb colon n_1 n_ m$ и $a_> in B_<frac1>(a)$. Так будет построена подпоследовательность $< a_> $. Покажем, что $a = lim limits _a_$. Действительно, $forall varepsilon > 0 exists N = frac1varepsilon forall k > N colon a_ in B_<frac1k>(a) subset B_varepsilon (a)$. $lacksquare $

Следствие. $+infty (-infty )$ — частичный предел $ < a_ n>Leftrightarrow $ $ < a_ n>$ неограничена сверху (снизу).

$lacktriangle $ Докажем для $+infty $. Доказательство для $-infty $ аналогично.

Если $+infty $ не является частичным пределом $ < a_ n>$, то $exists varepsilon >0$, что $B_varepsilon (+infty )$ содержит лишь конечное число членов $a_ n$. Тогда $forall nin mathbb colon $ $a_ n leqslant max < frac1varepsilon , a_ nmbox<, где >a_ nin B_varepsilon (+infty )> $, т.е. $ < a_ n>$ ограничена сверху.

Если $ < a_ n>$ ограничена сверху, то $exists Min mathbb colon a_ nleqslant M$. Найдём $varepsilon >0colon frac1varepsilon >M$. Тогда в $B_varepsilon (+infty )$ нет членов $ < a_ n>$ и, значит, по Т3.11 $+infty $ не является частичным пределом. $lacksquare $

Теорема 3.12. Множество частичных пределов последовательности не пусто в $overline<mathbb >$.

$lacktriangle $ Пусть $L$ — множество частичных пределов последовательности $ < a_ n>$. Пусть

$E = < x in mathbb colon x = a_ n, n in mathbb > $ — множество значений $ < a_ n>$.

$E$ — конечно $Rightarrow exists a in E, exists < n_ k>$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, что $a = a_ Rightarrow lim limits _a_ = a Rightarrow ain L$.

$E$ — бесконечно $Rightarrow exists a$ — предельная точка $E$ $Rightarrow $ $forall varepsilon > 0colon B_varepsilon (a) cap E$ — бесконечно $Rightarrow $

Читайте также:  Сайт для покупки игр в стиме

$forall varepsilon > 0 < n in mathbb colon a_ n in B_varepsilon (a)> $ — бесконечно $Rightarrow a$ — частичный предел $ < a_ n>$, т.е. $ain L$.

Следствие (Теорема Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

$lacktriangle $ По Теореме 3.12 множество частичных пределов последовательности непусто в $overline<mathbb >$, но $pm infty $ по следствию из Т3.11 не является частичным пределом $Rightarrow $ множество частичных пределов содержит действительное число. $lacksquare $

Теорема 3.13. Множество частичных пределов в $overline<mathbb >$ (и в $mathbb $) замкнуто.

$lacktriangle $ Пусть $L$ — множество частичных пределов $ < a_ n>$. Покажем, что $overline<mathbb >ackslash L (mathbb ackslash L)$ открыто.

Пусть $y in overline<mathbb >ackslash L Rightarrow exists B_varepsilon (y)$, содержащая лишь конечное число членов $ < a_ n>$. Т.к. $B_varepsilon (y)$ — открытое множество, то $forall x in B_varepsilon (y) exists B_delta (x) subset B_varepsilon (y)$. Но тогда в $B_delta (x)$ лишь конечное число членов $ < a_ n>$ $Rightarrow x$ не является частичным пределом $ < a_ n>Rightarrow x in overline<mathbb >ackslash L (mathbb ackslash L) Rightarrow B_varepsilon (y) subset overline<mathbb >ackslash L (mathbb ackslash L) Rightarrow $

$ overline<mathbb >ackslash L (mathbb ackslash L)$ открыто $Rightarrow L$ — замкнуто. $lacksquare $

Следствие. Множество частичных пределов последовательности имеет максимальный и минимальный элементы в $overline<mathbb >$.

$lacktriangle $ Пусть $L$ — множество частичных пределов $ < a_ n>$. По Т3.12 и Т3.13 множество $L$ непусто и замкнуто в $overline<mathbb >$. Если $L$ ограничено, то по Т2.3 $L$ имеет максимальный и минимальный элементы. Если $L$ неограничено сверху (снизу), то сама последовательность $ < a_ n>$ не ограничена сверху (снизу) $Rightarrow +infty (-infty ) in L$ по следствию из Т3.11 $Rightarrow $ $+infty $ — максимальный элемент $L$ ($-infty $ — минимальный элемент $L$). $lacksquare $

Определение 3.18.

Верхний предел последовательности $ < a_ n>$ — это наибольший из частичных пределов $ < a_ n>$ в $overline<mathbb >$. Обозначение. $varlimsup limits _a_ n$.

Нижний предел последовательности $ < a_ n>$ — это наименьший из частичных пределов $ < a_ n>$ в $overline<mathbb >$. Обозначение. $varliminf limits _a_ n$.

Теорема 3.14. Справедливы равенства:

$$varlimsup limits _a_ n = lim limits _sup limits _ < a_ k>, quad varliminf limits _a_ n = lim limits _inf limits _ < a_ k>.$$

$lacktriangle $ Докажем первое равенство. Пусть $b_ n = sup limits _ < a_ k>$ ($ < b_ n>$ — последовательность со значениями в $overline<mathbb >$). Т.к. $forall n in mathbb colon b_ n = sup limits _ < a_ k>geqslant sup limits _> < a_ k>= b_$ (вытекает из $(X subset Y Rightarrow sup X leqslant sup Y)$), то $ < b_ n>$ нестрого убывает $Rightarrow exists S = lim limits _b_ n in overline<mathbb >$.

Возможно 3 случая:

$S = +infty Rightarrow forall n in mathbb colon b_ n = +infty Rightarrow b_1 = sup < a_ n>= +infty Rightarrow < a_ n>$ — неограниченно сверху $Rightarrow $ $+infty $ — частичный предел $ < a_ n>Rightarrow +infty = varlimsup limits _a_ n$.

$S = -infty $. Поскольку $forall n in mathbb colon a_ n leqslant sup limits _ < a_ k>= b_ n stackrel<mbox<Т3.7>> <Rightarrow >lim limits _a_ n = -infty Rightarrow $ множество частичных пределов $ < a_ n>$ состоит из $-infty Rightarrow varlimsup limits _a_ n = -infty $.

$Sin mathbb $. Тогда $forall varepsilon > 0 exists N forall n > Ncolon b_ n in B_varepsilon (S)$. Т.к. $ < b_ n>$ нестрого убывает, то $S = inf < b_ n>Rightarrow $ $forall n > Ncolon S leqslant b_ n 0 forall n in mathbb exists k geqslant ncolon a_ k in B_varepsilon (S) Rightarrow B_varepsilon (S)$ содержит бесконечно много членов $ < a_ n>Rightarrow S$ — частичный предел $ < a_ n>$.

С другой стороны, $forall n > Ncolon a_ n leqslant sup limits _ < a_ k>= b_ n S + varepsilon > $ содержит лишь конечное число членов $ < a_ n>$. Множество $A_varepsilon $ открыто $Rightarrow $

$forall y in A_varepsilon exists B_delta (y) subset A_varepsilon $ $Rightarrow $ в $B_delta (y)$ содержится лишь конечное число членов $ < a_ n>Rightarrow y$ не является частичным пределом $ < a_ n>$. Т.к. $varepsilon > 0$ произвольно, то $forall x > Scolon $ $x$ не является частичным пределом $ < a_ n>$.

Следовательно, $S = varlimsup limits _a_ n$. $lacksquare $

Теорема 3.15. $a = lim limits _a_ n Leftrightarrow varlimsup limits _a_ n = varliminf limits _a_ n = a$.

$lacktriangle $ ($Rightarrow $) Пусть $a = lim limits _a_ n$. Тогда по Л3.4 множество частичных пределов $ < a_ n>$ состоит только из $a Rightarrow $ $varlimsup limits _a_ n = varliminf limits _a_ n = a$.

($Leftarrow $) Если $varlimsup limits _a_ n = varliminf limits _a_ n = a$, то по Т3.14 имеем:

$forall varepsilon > 0 exists N_varepsilon ‘ forall n > N_varepsilon ‘colon sup limits _ < a_ k>in B_varepsilon (a)$.

$forall varepsilon > 0 exists N_varepsilon » forall n > N_varepsilon »colon inf limits _ < a_ k>in B_varepsilon (a)$.

Положим $N_varepsilon = max < N_varepsilon ‘, N_varepsilon »>$. Тогда, учитывая $inf limits _ < a_ k>leqslant a_ n leqslant sup limits _ < a_ k>$, имеем

$forall varepsilon > 0 forall n > N_varepsilon colon a_ n in B_varepsilon (a)$, т.е. $lim limits _a_ n = a$. $lacksquare $

Ссылка на основную публикацию
Телефон греется и тормозит что делать
Почему тормозит устройство на Andro >Прежде чем перейти непосредственно к решению проблем, стоит указать на их причины. Зная о том,...
Стоит ли учиться на нефтяника
Добыча газа и нефти — очень популярная сфера в России. Именно поэтому большое количество выпускников стремится поступать на специальность «Нефтегазовое...
Стойка для аудио аппаратуры своими руками
Решил создать данную тему,т.к. думаю форумчанам будет интересно почитать, а кому то и поделиться личным опытом, по изготовлению своими руками...
Телефон завис на загрузке андроид
В результате поломки аппаратной части или сбоя в работе ОС любой Android-смартфон может перестать реагировать на кнопку включения. Частой можно...
Adblock detector