Тангенс угла наклона касательной к графику

Тангенс угла наклона касательной к графику

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Геометрический смысл производной

Ты уже знаешь что такое производная? Если нет, сперва прочти тему «Производная». Итак, ты говоришь, что знаешь производную. Сейчас проверим. Найди приращение функции при приращении аргумента, равном . Справился? Должно получиться . А теперь найди производную функции в точке . Ответ: . Получилось? Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме «Производная» и проштудировать ее еще раз. Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше. Рассмотрим график какой-то функции :

Выберем на линии графика некую точку . Пусть ее абсцисса , тогда ордината равна . Затем выберем близкую к точке точку с абсциссой ; ее ордината – это :

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии). Обозначим угол наклона прямой к оси как . Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Какие значения может принимать угол ? Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – , а минимально возможный – . Значит, . Угол не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с , а логичнее выбирать меньший угол. Возьмем на рисунке такую точку , чтобы прямая была параллельна оси абсцисс, а – ординат:

По рисунку видно, что , а . Тогда отношение приращений:

(так как , то – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать . Тогда точка будет приближаться к точке . Когда станет бесконечно малым , отношение станет равно производной функции в точке . Что же при этом станет с секущей? Точка будет бесконечно близка к точке , так что их можно будет считать одной и той же точкой. Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки , но этого достаточно). Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси назовем . Тогда получится, что производная

то есть производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

За что отвечает коэффициент ? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент. Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью ! То есть вот что получается:

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей? Посмотрим: Теперь углы и тупые. А приращение функции – отрицательное. Снова рассмотрим : . С другой стороны, . Получаем: , то есть все, как и в прошлый раз. Снова устремим точку к точке , и секущая примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке . Итак, сформулируем окончательно полученное правило:
Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

Это и есть геометрический смысл производной. Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:
На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
Решение.
Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: . Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Читайте также:  Манипулятор типа мышь usb

Угол наклона касательной к оси – это . Найдем тангенс этого угла: . Таким образом, производная функции в точке равна .
Ответ: . Теперь попробуй сам:

  1. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
  2. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Ответы:

    Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: . Достроим треугольник со стороной , лежащей на касательной.

Угол наклона касательной – это угол, отмеченный зеленым на графике. Он тупой 90<>^circ
ight)"> , поэтому его тангенс не получится вычислить так же, как в предыдущем примере (ведь в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла). Применим знания из тригонометрии. Интересующий нас угол является смежным с . А значит: Найдем : . Значит тангенс угла наклона касательной (а вместе с ним и значение производной в точке касания) равен .
Ответ: .

  • Здесь ответ равен . В ЕГЭ такой ответ написать не получится, но мы ведь должны понимать, что математика не ограничена рамками ЕГЭ.
  • Зная геометрический смысл производной, можно очень просто объяснить правило, что производная в точке локального максимума или минимума равна нулю. Действительно, касательная к графику в этих точках «горизонтальна», то есть параллельна оси абсцисс:
    А чему равен угол между параллельными прямыми? Конечно, нулю! А тангенс нуля тоже равен нулю. Вот и производная равна нулю:

    Более подробно об этом читай в теме «Монотонность функций. Точки экстремума».

    Уравнение касательной

    А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных. Предположим, у нас есть какая-то функция, например, . Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке . Например, в точке . Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:

    Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости? Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты и в уравнении

    Но ведь мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

    В нашем примере будет так:

    Теперь остается найти . Это проще простого: ведь – значение при . Графически – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь во всех точках оси ):

    Проведём (так, что – прямоугольный). Тогда (тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны и ? По рисунку явно видно, что , а . Тогда получаем:

    Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

    Это и есть уравнение касательной к графику функции в точке .

    Пример:
    Найди уравнение касательной к графику функции в точке .
    Решение:
    На этом примере выработаем простой алгоритм действий в подобных задачах:

    Алгоритм Пример: ,
    1. Вычислим
    2. Найдём формулу производной функции
    3. Вычислим
    4. Подставим и в формулу уравнения касательной

    Теперь реши сам:

    1. Найди уравнение касательной к функции в точке .
    2. Касательная к параболе пересекает ось под углом . Найди уравнение этой касательной.
    3. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
    4. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
    5. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

    Решения и ответы:

    1. Всё по плану:
      • .
      • .
      • .
      • Поскольку функция на этот раз называется буквой y, то чтобы не запутаться, для касательной введем другую букву: .
      • То, что нам известен угол наклона касательной, очень хорошо: ведь его тангенс равен производной функции, а также угловому коэффициенту касательной. Но тут есть подвох: дело в том, что под углом ось могут пересекать две разные касательные: с наклоном «вправо» и «влево»:

        Прямая 2 (та, которая «наклонена влево») с положительным направлением оси составляет угол – это и есть угол наклона прямой к оси . Дальше всё просто: , .
        Прямая 1. , .
        Касательная: .
        Прямая 2. , .
        Касательная: .
        Ответ:; .
      • Абсцисса – это ось , а значит, нам нужно найти значение в точке пересечения касательной и графика функции. Из уравнения мы знаем, что угловой коэффициент наклона касательной равен значению производной в точке касания. Поскольку прямая параллельна касательной, это значит, что их угловые коэффициенты наклона одинаковые .

        Согласно правилам вычисления производных, находим производную функции :
        .
        Теперь приравниваем производную к коэффициенту наклона касательной и находим абсциссу точки касания:

        .

        Ответ:.

      • Ответ: .
      • Ответ: .

      УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

      Геометрический смысл производной

      Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:

      Уравнение касательной к графику функции в точке :

      Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной:

      Алгоритм Пример: ,
      1. Вычислим
      2. Найдем формулу производной функции
      3. Вычислим
      4. Подставим и в формулу уравнения касательной

      ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

      Стать учеником YouClever,

      Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

      А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений.

      Здравствуйте!
      Помогите решить задание:
      Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции f (x) = 3x^2 + 2x – 5 , которая проходит через точку графика, имеющую абсциссу x0 = 2.
      Спасибо!

      Задание.
      Найти тангенс угла наклона касательной к графику ф-ции f (x) = 3x^2 + 2x — 5 , которая проходит через точку графика, имеющую абсциссу x0 = 2.

      Решение.
      Тангенс угла между касательной к графику ф-ции и осью Ох найти легко, если известно уравнение ф-ции, к которой проведена касательная, а также координата точки, через которую проходят касательная и график функции. Такие данные у нас есть в условии задания, а тангенс угла находится как производная заданной ф-ции в точке касания.
      Итак, при решении подобных заданий сперва нужно вычислить производную ф-ции, график которой рассматривается.
      По условию заданная функция описывается уравнением:

      Находим производную, применив правило производной от суммы или разности:

      Тангенс искомого угла между касательной к графику функции и осью Ох равен производной в точке касания, то есть в точке х0 = 2. Найдем ее:

      Ответ. 14.

      Кстати говоря, именно в рассмотренной формуле заложен геометрический смысл производной.
      Часто попадаются задачи, в которых по рисунку на клетчатом листе нужно найти тангенс угла наклона. В таком случае достраивают прямоугольный треугольник так, чтобы по клеткам можно было определить длины его катетов, а затем вычисляют тангенс.

      (lacktriangleright) Если уравнение прямой задано в виде (<color>) , то число (k) называется угловым коэффициентом.

      (lacktriangleright) Угол (alpha) наклона прямой – это угол между этой прямой и положительным направлением оси (Ox) ( (0leqslant alpha ), лежащий в верхней полуплоскости.

      (lacktriangleright) Основная формула. Угловой коэффициент прямой (y=kx+b) равен тангенсу угла наклона этой прямой:

      [<large<color, alpha>>>]
      Т.к. касательная к графику некоторой функции — это и есть прямая, то для нее верны все эти утверждения.

      Если (alpha , то (k>0) ;

      если (alpha>90^circ) , то (k ;

      если (alpha=0^circ) , то (k=0) (уравнение прямой имеет вид (y=b) и она параллельна оси (Ox) );

      если (alpha=90^circ) , то уравнение прямой имеет вид (x=a) и она перпендикулярна оси (Ox) .

      Прямая, заданная уравнением (y = x) , образует с положительным направлением оси (Ox) угол (alpha) . Найдите (mathrm, alpha) .

      Для прямой, заданной уравнением (y = kx + b) , коэффициент (k) есть значение тангенса угла между прямой (y = kx + b) и положительным направлением оси (Ox) .

      Так как для прямой (y = x) коэффициент (k) равен (1) , то (mathrm, alpha = 1) .

      Прямая, заданная уравнением (y = 2x — 3) , образует с положительным направлением оси (Ox) угол (alpha) . Найдите (mathrm, alpha) .

      Для прямой, заданной уравнением (y = kx + b) , коэффициент (k) есть значение тангенса угла между прямой (y = kx + b) и положительным направлением оси (Ox) .

      Так как для прямой (y = 2x — 3) коэффициент (k) равен (2) , то (mathrm, alpha = 2) .

      Прямая, заданная уравнением (y = -x + 2) , образует с положительным направлением оси (Ox) угол (alpha) . Найдите (mathrm, alpha) .

      Для прямой, заданной уравнением (y = kx + b) , коэффициент (k) есть значение тангенса угла между прямой (y = kx + b) и положительным направлением оси (Ox) .

      Так как для прямой (y = -x + 2) коэффициент (k) равен (-1) , то (mathrm, alpha = -1) .

      Прямая, заданная уравнением (y = kx + 77) , образует с положительным направлением оси (Ox) угол (alpha) . Найдите (k) , если (mathrm, alpha = 12) .

      Для прямой, заданной уравнением (y = kx + b) , коэффициент (k) есть значение тангенса угла между прямой (y = kx + b) и положительным направлением оси (Ox) .

      Так как тангенс угла (alpha) между прямой (y = kx + 77) и положительным направлением оси (Ox) равен (12) , то (k = mathrm, alpha = 12) .

      Прямая, заданная уравнением (y = kx + 0,2) , образует с положительным направлением оси (Ox) угол (alpha) . Найдите (k) , если (mathrm, alpha = -3,3) .

      Для прямой, заданной уравнением (y = kx + b) , коэффициент (k) есть значение тангенса угла между прямой (y = kx + b) и положительным направлением оси (Ox) .

      Так как тангенс угла (alpha) между прямой (y = kx + 0,2) и положительным направлением оси (Ox) равен (-3,3) , то (k = mathrm, alpha = -3,3) .

      Прямая, заданная уравнением (y = kx) , образует с положительным направлением оси (Ox) угол (alpha) . Найдите (k) , если (mathrm, alpha = 0) .

      Для прямой, заданной уравнением (y = kx + b) , коэффициент (k) есть значение тангенса угла между прямой (y = kx + b) и положительным направлением оси (Ox) .

      Так как тангенс угла (alpha) между прямой (y = kx) и положительным направлением оси (Ox) равен (0) , то (k = mathrm, alpha = 0) .

      Прямая (y = kx — 2016) образует угол (45^<circ>) с положительным направлением оси (Ox) . Найдите (k) .

      Для прямой, заданной уравнением (y = kx + b) , коэффициент (k) есть значение тангенса угла между прямой (y = kx + b) и положительным направлением оси (Ox) .

      Так как угол между прямой (y = kx — 2016) и положительным направлением оси (Ox) равен (dfrac<pi><4>) , то (k = mathrm, dfrac<pi> <4>= 1) .

      Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.

      Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.

      Основные моменты

      Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.

      Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания, например, задач на тему «Связь производной со скоростью и ускорением тела», мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.

      Ссылка на основную публикацию
      Стоит ли учиться на нефтяника
      Добыча газа и нефти — очень популярная сфера в России. Именно поэтому большое количество выпускников стремится поступать на специальность «Нефтегазовое...
      Сони плейстейшен нетворк вход
      Игры по сети, развлечения, друзья, покупки и многое другое – ваше сетевое приключение начинается в PSN. Подключитесь к нашему сетевому...
      Сони f3112 xperia xa
      Недорогой смартфон компании Sony (22 990 рублей за Dual версию) с интересным дизайном, LTE, двумя отдельными слотами для SIM-карт, слотом...
      Стойка для аудио аппаратуры своими руками
      Решил создать данную тему,т.к. думаю форумчанам будет интересно почитать, а кому то и поделиться личным опытом, по изготовлению своими руками...
      Adblock detector