Способ найти общий знаменатель

Способ найти общий знаменатель

Большинство действий с алгебраическими дробями, такие, например, как сложение и вычитание, требуют предварительного приведения этих дробей к одинаковым знаменателям. Такие знаменатели также часто обозначаются словосочетанием «общий знаменатель». В данной теме мы рассмотрим определение понятий «общий знаменатель алгебраических дробей» и «наименьший общий знаменатель алгебраических дробей (НОЗ)», рассмотрим по пунктам алгоритм нахождения общего знаменателя и решим несколько задач по теме.

Общий знаменатель алгебраических дробей

Если говорить про обыкновенные дроби, то общим знаменателем является такое число, которое делится на любой из знаменателей исходных дробей. Для обыкновенных дробей 1 2 и 5 9 число 36 может быть общим знаменателем, так как без остатка делится на 2 и на 9 .

Общий знаменатель алгебраических дробей определяется похожим образом, только вместо чисел используются многочлены, так как именно они стоят в числителях и знаменателях алгебраической дроби.

Общий знаменатель алгебраической дроби – это многочлен, который делится на знаменатель любой из дробей.

В связи с особенностями алгебраических дробей, речь о которых пойдет ниже, мы чаще будем иметь дело с общими знаменателями, представленными в виде произведения, а не в виде стандартного многочлена.

Многочлену, записанному в виде произведения 3 · x 2 · ( x + 1 ) , соответствует многочлен стандартного вида 3 · x 3 + 3 · x 2 . Этот многочлен может быть общим знаменателем алгебраических дробей 2 x , — 3 · x · y x 2 и y + 3 x + 1 , в связи с тем, что он делится на x , на x 2 и на x + 1 . Информация о делимости многочленов есть в соответствующей теме нашего ресурса.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ)

Для заданных алгебраических дробей количество общих знаменателей может быть бесконечное множество.

Возьмем для примера дроби 1 2 · x и x + 1 x 2 + 3 . Их общим знаменателем является 2 · x · ( x 2 + 3 ) , как и − 2 · x · ( x 2 + 3 ) , как и x · ( x 2 + 3 ) , как и 6 , 4 · x · ( x 2 + 3 ) · ( y + y 4 ) , как и − 31 · x 5 · ( x 2 + 3 ) 3 , и т.п.

При решении задач можно облегчить себе работу, используя общий знаменатель, который среди всего множества знаменателей имеет самый простой вид. Такой знаменатель часто обозначается как наименьший общий знаменатель.

Наименьший общий знаменатель алгебраических дробей – это общий знаменатель алгебраических дробей, который имеет самый простой вид.

К слову, термин «наименьший общий знаменатель» не является общепризнанным, потому лучше ограничиваться термином «общий знаменатель». И вот почему.

Ранее мы сфокусировали ваше внимание на фразе «знаменатель самого простого вида». Основной смысл этой фразы следующий: на знаменатель самого простого вида должен без остатка делиться любой другой общий знаменатель данных в условии задачи алгебраических дробей. При этом в произведении, которое является общим знаменателем дробей, можно использовать различные числовые коэффициенты.

Возьмем дроби 1 2 · x и x + 1 x 2 + 3 . Мы уже выяснили, что проще всего работать нам будет с общим знаменателем вида 2 · x · ( x 2 + 3 ) . Также общим знаменателем для этих двух дробей может быть x · ( x 2 + 3 ) , который не содержит числового коэффициента. Вопрос в том, какой из этих двух общих знаменателей считать наименьшим общим знаменателем дробей. Однозначного ответа нет, потому правильнее говорить просто об общем знаменателе, а в работу брать тот вариант, с которым работать будет удобнее всего. Так, мы можем использовать и такие общие знаменатели как x 2 · ( x 2 + 3 ) · ( y + y 4 ) или − 15 · x 5 · ( x 2 + 3 ) 3 , которые имеют более сложный вид, но проводить с ними действия может быть сложнее.

Нахождение общего знаменателя алгебраических дробей: алгоритм действий

Предположим, что у нас имеется несколько алгебраических дробей, для которых нам необходимо отыскать общий знаменатель. Для решения этой задачи мы можем использовать следующий алгоритм действий. Сначала нам необходимо разложить на множители знаменатели исходных дробей. Затем мы составляем произведение, в которое последовательно включаем:

  • все множители из знаменателя первой дроби вместе со степенями;
  • все множители, присутствующие в знаменателе второй дроби, но которых нет в записанном произведении или их степень недостаточно;
  • все недостающие множители из знаменателя третьей дроби, и так далее.

Полученное произведение и будет общим знаменателем алгебраических дробей.

В качестве множителей произведения мы можем взять все знаменатели дробей, данных в условии задачи. Однако множитель, который мы получим в итоге, по смыслу будет далек от НОЗ и использование его будет иррациональным.

Читайте также:  Почему на новом телефоне быстро садится батарея

Определите общий знаменатель дробей 1 x 2 · y , 5 x + 1 и y — 3 x 5 · y .

Решение

В данном случае у нас нет необходимости раскладывать знаменатели исходных дробей на множители. Потому начнем применять алгоритм с составления произведения.

Из знаменателя первой дроби возьмем множитель x 2 · y , из знаменателя второй дроби множитель x + 1 . Получаем произведение x 2 · y · ( x + 1 ) .

Знаменатель третьей дроби может дать нам множитель x 5 · y , однако в составленном нами ранее произведении уже есть множители x 2 и y . Следовательно, добавляем еще x 5 − 2 = x 3 . Получаем произведение x 2 · y · ( x + 1 ) · x 3 , которое можно привести к виду x 5 · y · ( x + 1 ) . Это и будет наш НОЗ алгебраических дробей.

Ответ: x 5 · y · ( x + 1 ) .

Теперь рассмотрим примеры задач, когда в знаменателях алгебраических дробей есть целые числовые множители. В таких случаях мы также действуем по алгоритму, предварительно разложив целые числовые множители на простые множители.

Найдите общий знаменатель дробей 1 12 · x и 1 90 · x 2 .

Решение

Разложив числа в знаменателях дробей на простые множители, получаем 1 2 2 · 3 · x и 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Теперь мы можем перейти к составлению общего знаменателя. Для этого из знаменателя первой дроби возьмем произведение 2 2 · 3 · x и добавим к нему множители 3 , 5 и x из знаменателя второй дроби. Получаем 2 2 · 3 · x · 3 · 5 · x = 180 · x 2 . Это и есть наш общий знаменатель.

Ответ: 180 · x 2 .

Если внимательно посмотреть на результаты двух разобранных примеров, то можно заметить, что общие знаменатели дробей содержат все множители, присутствующие в разложениях знаменателей, причем если некоторый множитель имеется в нескольких знаменателях, то он берется с наибольшим из имеющихся показателей степени. А если в знаменателях имеются целые коэффициенты, то в общем знаменателе присутствует числовой множитель, равный наименьшему общему кратному этих числовых коэффициентов.

В знаменателях обеих алгебраических дробей 1 12 · x и 1 90 · x 2 есть множитель x . Во втором случае множитель x возведен в квадрат. Для составления общего знаменателя это множитель нам необходимо взять в наибольшей степени, т.е. x 2 . Других множителей с переменными нет. Целые числовые коэффициенты исходных дробей 12 и 90 , а их наименьшее общее кратное равно 180 . Получается, что искомый общий знаменатель имеет вид 180 · x 2 .

Теперь мы можем записать еще один алгоритм нахождения общего множителя алгебраических дробей. Для этого мы:

  • раскладываем знаменатели всех дробей на множители;
  • составляем произведение всех буквенных множителей (при наличии множителя в нескольких разложениях, берем вариант с наибольшим показателем степени);
  • добавляем НОК числовых коэффициентов разложений к полученному произведению.

Приведенные алгоритмы равноценны, так что использовать в решении задач можно любой из них. Важно уделять внимание деталям.

Встречаются случаи, когда общие множители в знаменателях дробей могут быть незаметны за числовыми коэффициентами. Здесь целесообразно сначала вынести числовые коэффициенты при старших степенях переменных за скобки в каждом из множителей, имеющихся в знаменателе.

Какой общий знаменатель имеют дроби 3 5 — x и 5 — x · y 2 2 · x — 10 .

Решение

В первом случае за скобки необходимо вынести минус единицу. Получаем 3 — x — 5 . Умножаем числитель и знаменатель на — 1 для того, чтобы избавиться от минуса в знаменателе: — 3 x — 5 .

Во втором случае за скобку выносим двойку. Это позволяет нам получить дробь 5 — x · y 2 2 · x — 5 .

Очевидно, что общий знаменатель данных алгебраических дробей — 3 x — 5 и 5 — x · y 2 2 · x — 5 это 2 · ( x − 5 ) .

Ответ: 2 · ( x − 5 ) .

Данные в условии задачи дроби могут иметь дробные коэффициенты. В этих случаях необходимо сначала избавиться от дробных коэффициентов путем умножения числителя и знаменателя на некоторое число.

Упростите алгебраические дроби 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 и — 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 , после чего определите их общий знаменатель.

Решение

Избавимся от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель в первом случае на 14 , во втором случае на 3 . Получаем:

1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 = 14 · 1 2 · x + 1 14 · 1 14 · x 2 + 1 7 = 7 · x + 14 x 2 + 2 и — 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 = 3 · — 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = — 6 2 · x 2 + 4 = — 6 2 · x 2 + 2 .

Читайте также:  Как войти в биос без пароля

После проведенных преобразований становится понятно, что общий знаменатель – это 2 · ( x 2 + 2 ) .

Ответ: 2 · ( x 2 + 2 ) .

Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.

Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:

Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Таким образом, если правильно подобрать множители, знаменатели у дробей сравняются — этот процесс называется . А искомые числа, «выравнивающие» знаменатели, называются .

Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:

  1. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
  2. Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
  3. Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.

Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них — в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.

Умножение «крест-накрест»

Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую — на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:

Задача. Найдите значения выражений:

В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:

Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом — так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.

Единственный недостаток данного метода — приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.

Метод общих делителей

Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:

  1. Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
  2. Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
  3. При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать — в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.

Задача. Найдите значения выражений:

Заметим, что . Поскольку в обоих случаях один знаменатель делится без остатка на другой, применяем метод общих множителей. Имеем:

Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!

Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.

В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.

Метод наименьшего общего кратного

Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.

Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».

Например, для знаменателей 8 и 12 вполне подойдет число 24, поскольку . Это число намного меньше произведения .

Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их (НОК).

Обозначение: наименьшее общее кратное чисел обозначается . Например, ; .

Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:

Задача. Найдите значения выражений:

Заметим, что . Множители 2 и 3 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), а множитель 117 — общий.

Читайте также:  Как очистить выполнить в windows 10

Аналогично, . Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 — общий.

Теперь приведем дроби к общим знаменателям:

Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:

  1. Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
  2. Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, , следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.

Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.

Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи — не предел!

Единственная проблема — как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.

Так для чего нужен общий знаменатель, или когда нужен общий знаменатель?
Ответ довольно прост, мы имеем право дроби складывать и вычитать только когда у данных дробей есть общий знаменатель. Поэтому важно понять, как находить общий знаменатель.

Определение:
Общий знаменатель – это число всегда положительное на которое делятся знаменатели данных дробей.

Формула основного свойства рациональных чисел.

Такое решение называется приведением к общему знаменателю. Мы имеем право умножать одновременно на одно и тоже число и числитель и знаменатель.

Наименьший общий знаменатель.

Что такое наименьший общий знаменатель?

Определение:
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее положительное число кратное знаменателям данных дробей.

Как привести к наименьшему общему знаменателю? Чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим пример:

Приведите дроби с разными знаменателями к наименьшему общему знаменателю .

Решение:
Чтобы найти наименьший общий знаменатель нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.

У первой дроби знаменатель равен 20 разложим его на простые множители.
20=2⋅5⋅2

Так же разложим и второй знаменатель дроби 14 на простые множители.
14=7⋅2

Ответ: наименьший общий знаменатель будет равен 140.

Как привести дробь к общему знаменателю?

Нужно первую дробь (frac<1><20>) домножить на 7, чтобы получить знаменатель 140.

Правила или алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.

Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:

  1. Нужно разложить на простые множители знаменатели дробей.
  2. Нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей данных дробей.
  3. Привести дроби к общему знаменателю, то есть умножить и числитель и знаменатель дроби на множитель.

Общий знаменатель для нескольких дробей.

Как найти общий знаменатель для нескольких дробей?

Рассмотрим пример:
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей (frac<2><11>, frac<1><15>, frac<3><22>)

Решение:
Разложим знаменатели 11, 15 и 22 на простые множители.

Число 11 оно само по себе уже простое число, поэтому его расписывать не нужно.
Разложим число 15=5⋅3
Разложим число 22=11⋅2

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 11, 15, и 22.
НОК(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь приведем данные дроби (frac<2><11>, frac<1><15>, frac<3><22>) к общему знаменатели равному 330.

Вопросы по теме:
Какой общий знаменатель у дробей (f frac<2><25>) и (f frac<1><14>)?
Ответ:
Какой наименьший общий знаменатель у дробей 14 и 25? Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к общему знаменателю алгебраических дробей.

Сначала разложим на простые множители знаменатели 14 и 25.
14=2⋅7
25=5⋅5
Теперь найдем НОК(14,25)=2⋅7⋅5⋅5=350.

Это мы нашли наименьший общий знаменатель:

Но не всегда нужно находит наименьший общий знаменатель иногда, можно найти любой знаменатель, а потом можно конечную дробь сократить. Например, для дробей (frac<2><25>) и (frac<1><14>) знаменателем может быть число 700, 1400 и т.д.

Ссылка на основную публикацию
Сони плейстейшен нетворк вход
Игры по сети, развлечения, друзья, покупки и многое другое – ваше сетевое приключение начинается в PSN. Подключитесь к нашему сетевому...
Смарт часы фикситайм 3 отзывы
Данный товар недоступен для доставки в Ваш регион Мы всегда стремимся к лучшему, чтобы радовать своих покупателей самыми выгодными ценами....
Смарт часы эпл для детей
1 min Apple Watch — самые популярные умные часы в мире. Является ли это идеальным выбором для вашего ребенка, зависит...
Сони f3112 xperia xa
Недорогой смартфон компании Sony (22 990 рублей за Dual версию) с интересным дизайном, LTE, двумя отдельными слотами для SIM-карт, слотом...
Adblock detector