Составьте квадратное уравнение по его корням

Составьте квадратное уравнение по его корням

Ответ или решение 2

Воспользуемся теоремой Виета.

Согласно данной теореме, если числа х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения х² + а * х + b = 0, то имеют место следующие соотношения:

Следовательно, если известно, что числа х1 и х2 являются корнями некоторого квадратного уравнения, то это уравнение можно записать в виде:

х² — (х1 + х2) * х + х1 * х2 = 0.

Согласно условию задачи, х1 = -1, х2 = 3, следовательно,

х1 + х2 = -1 + 3 = 2,

х1 * х2 = -1 * 3 = -3,

и квадратное уравнение, корнями которого являются данные числа имеет вид:

Ответ: искомое квадратное уравнение: х² — 2х — 3 = 0.

Квадратное уравнение имеет вид ах 2 + вх + с = 0, где а, в и с — это коэффициенты.

Составить квадратное уравнение можно двумя способами

1) С помощью теоремы Виета:

х1 + х2 = — в и х1 * х2 = с, где х1 и х2 это корни квадратного уравнения, в — второй коэффициент, с — коэффициент свободного члена (без х).

2) С помощью формулы разложения квадратного трехчлена на множители:

ах 2 + вх + с = а *(х -х1)(х — х2), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения.

Решение задания с помощью теоремы Виета

  • х1 + х2 = — в, (- 1) + 3 = 2, значит, второй коэффициент равен (- 2).
  • х1 * х2 = с, (- 1) * 3 = — 3, значит, коэффициент свободного члена равен (- 3).
  • Следовательно, квадратное уравнение имеет вид х 2 — 2х — 3 = 0.

Решение с помощью формулы разложения квадратного трехчлена на множители

Подставляем х1 = -1 и х2 = 3 в данную формулу.

И раскрываем скобки: х 2 + х — 3х — 3.

Подводим подобные члены, получается квадратный трехчлен х 2 — 2х — 3.

Значит, квадратное уравнение будет иметь вид х 2 — 2х — 3 = 0.

Ответ или решение 3

Нам нужно составить квадратное уравнение по его корням. Корни равны 5 и 3.

Решать задание будем по алгоритму

  • вспомним определение полного квадратного уравнения и приведенного квадратного уравнения;
  • вспомним теорему Виета;
  • найдем коэффициента уравнения, используя теорему Виета;
  • запишем уравнение;
  • сделаем проверку — решим полученное уравнение.

Определение квадратного уравнения и теорема Виета

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax ^2 + bx + c = 0;

где a, b — коэффициенты, а с — свободный член. Так же обязательно должно выполняться условие, что коэффициента a не равен нулю (a ≠ 0).

Если в уравнении ax^2 + bx + c = 0, коэффициент a = 1, то уравнение называется полным приведенное квадратное уравнение.

Мы в ответе получим уравнение с коэффициентом а = 1, то есть приведенное квадратное уравнение.

Читайте также:  Удаление кисты гайморовой пазухи эндоскопическая операция отзывы

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней уравнения равна коэффициенту b с противоположным знаком.

А произведение корней уравнения равно свободному члену уравнения с.

Находим коэффициенты для нашего уравнения

Корни уравнения имеют значения x1 = 5; x2 = 3.

При условии, что уравнение приведенное, то есть а = 1, находим коэффициенты b и c.

b = — 8.

c = 15.

Составим уравнение и сделаем проверку

Решим уравнение, тем самым проверим правильно ли мы его составили.

D = b^2 — 4ac = (- 8)^2 — 4 * 1 * 15 = 64 — 60 = 4;

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Класс : 8 «Б» Предмет : Алгебра Дата : _______

Урок № 64 Тема : « Составление квадратного трехчлена по его корням»

Цели урока : научить составлять квадратный трехчлена по его корням .

Обучающая: повторить понятие квадратного трехчлена и его корней; формировать умение составлять квадратный трехчлена по его корням .

Развивающая: развитие логического мышления, познавательных интересов.

Воспитательная: воспитание организованности, дисциплинированности , аккуратности, усидчивости .

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления

Методы и приемы: словесный, наглядный, практический.

Материально-техническое обеспечение: дидактический материал.

Организаци онный момент

Первичное усвоение новой учебной информации

Осознание и осмысление

Информация о домашнем задании

Подведение итогов урока

І . Организаци онный момент

— Здравствуйте ребята, тема сегодняшнего урока: « Составление квадратного трехчлена по его корням » .

Цели данного урока: научится составлять квадратный трехчлена по его корням.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, сообщение тем ы и цели урока и требований к уроку.

ІІ. Актуализация знаний

— Давайте вспомним пройденный материал

Разложите на множители выражение:

а) Х 2 — 9; б) Х 2 – 9Х;

Найдите корень уравнения:

а) Х 2 — 9 = 0; б) Х 2 – 9Х = 0; в) Х 2 – 6Х + 9 = 0

Ребята отвечают на вопросы учителя.

ІІІ. Первичное усвоение новой учебной информации

§ 54 . Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

В этом параграфе мы рассмотрим следующий вопрос: в каком случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c можно представить в виде произведения

1. Предположим, что данный квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде

Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c должен быть неотрицательным.

2. Обратно, предположим, что дискриминант D = b 2 — 4 ас квадратного трехчлена ax 2 + bx + c неотрицателен. Тогда этот трехчлен имеет действительные корни x 1 и x 2 . Используя теорему Виета, получаем:

где x 1 и x 2 — корни трехчлена ax 2 + bx + c . Коэффициент а можно отнести к любому из двух линейных множителей, например,

Читайте также:  Mozilla firefox как перенести закладки

Но это означает, что в рассматриваемом случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы приходим к следующей теореме.

Теорема. Квадратный трехчлен ax 2 + bx + c тогда и тoлько тогда можно представить в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами,

когда дискриминант этого квадратного трехчлена неотрицателен (то есть когда этот трехчлен имеет действительные корни) .

Пример 1 . Разложить на линейные множители 6 x 2 — х —1.

Поэтому по формуле (2)

Пример 2 . Разложить на линейные множители x 2 + х + 1. Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен:

D = 1 2 — 4•1•1 = — 3

Поэтому данный квадратный трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами не раскладывается.

Разложить на линейные множители следующие выражения (№ 403 — 406):

Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x 1 и x 2 . Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x 1 и x 2 можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x 1 и x 2 имеют уравнения вида (1) и только, они.

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.

Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение

1. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:

а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 / 4 и 1 / 6 ; г) — 1 / 2 и — 1 / 3 .

2. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

3. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 / 7 и — 1 / 2 , а сумма всех коэффициентов равна 36.

Решение: (х-5/7)(х-1/2)=0 х 2 -17/14х+5/14=0 14х 2 -17х+5=0 14+17+5=36

4. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 / 5 и — 1 / 7 ?

Решение: (х-6/5)(х+1/7)=0 35х 2 -37х-6=0 (да)

5. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

Второй корень будет сопряжён первому, т. е. x 1 = √3−5; x 2 = −√3−5.
Ищем квадратное уравнение в виде x² + ax + b = 0,
тогда по теореме Виета a = −( x1 +x2) = −2•(−5) = 10, b = x1•x2 = (−5)²−(√3)² = 22.
ОТВЕТ: x²+10x+22 = 0.

Решить №3,№5 на стр.97-98 проверь себя, дополнительно №242 (1,2).

VI .Информация о домашнем задании

Читайте также:  Можно ли подключить электроплиту к обычной розетке

№ 228, №234+ Повторить пройденную тему§12.

VII .Подведение итогов урока

Давайте теперь подведем итоги урока :

Учитель благодарит за урок и объявляет оценки.

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Урок № 64 Тема: « Составление квадратного трехчлена по его корням»

Цели урока : научить составлять квадратный трехчлена по его корням .

Обучающая: повторить понятие квадратного трехчлена и его корней; формировать умение составлять квадратный трехчлена по его корням .

Развивающая: развитие логического мышления, познавательных интересов.

Воспитательная: воспитание организованности, дисциплинированности , аккуратности, усидчивости .

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления

Методы и приемы: словесный, наглядный, практический.

Материально-техническое обеспечение: дидактический материал.

I. Организаци онный момент

II. Актуализация знаний

III. Первичное усвоение новой учебной информации

IV. Осознание и осмысление

VI. Информация о домашнем задании

VII. Подведение итогов урока

І . Организаци онный момент

— Здравствуйте ребята, тема сегодняшнего урока: « Составление квадратного трехчлена по его корням » .

Цели данного урока: научится составлять квадратный трехчлена по его корням.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, сообщение тем ы и цели урока и требований к уроку.

ІІ. Актуализация знаний

— Давайте вспомним пройденный материал

— Разложите на множители выражение:

— а) Х2- 9; б) Х2 – 9Х;

— Найдите корень уравнения:

— а) Х2- 9 = 0; б) Х2 – 9Х = 0; в) Х2 – 6Х + 9 = 0

Ребята отвечают на вопросы учителя.

  • Бондаренко Ирина КазимировнаНаписать 2400 02.03.2015

Номер материала: 417783

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

    02.03.2015 424
    02.03.2015 3236
    02.03.2015 1620
    02.03.2015 417
    02.03.2015 1810
    01.03.2015 415
    01.03.2015 418

Не нашли то что искали?

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Ссылка на основную публикацию
Сони плейстейшен нетворк вход
Игры по сети, развлечения, друзья, покупки и многое другое – ваше сетевое приключение начинается в PSN. Подключитесь к нашему сетевому...
Смарт часы фикситайм 3 отзывы
Данный товар недоступен для доставки в Ваш регион Мы всегда стремимся к лучшему, чтобы радовать своих покупателей самыми выгодными ценами....
Смарт часы эпл для детей
1 min Apple Watch — самые популярные умные часы в мире. Является ли это идеальным выбором для вашего ребенка, зависит...
Сони f3112 xperia xa
Недорогой смартфон компании Sony (22 990 рублей за Dual версию) с интересным дизайном, LTE, двумя отдельными слотами для SIM-карт, слотом...
Adblock detector