Смо с отказами пример

Смо с отказами пример

Многоканальная СМО с отказами в обслуживании

Для определения оптимального число линий связи, достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала 0.04, воспользуемся формулой:

Для наших данных:

где
Подбирая количество линий связей, находим, что при k=6, pотк = 0.0147 5443.2 руб.)

5. Магазин получает овощи из теплиц. Автомобили с грузом прибывают с интенсивностью λ машин в день. Подсобные помещения позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный m автомобилями. В магазине работают n фасовщиков, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течении tобсл. часов. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 часов. Определить емкость подсобных помещений при заданной вероятности Р* обсл. полной обработки товаров.

6. Имеется автозаправочная станция с 2-мя колонками. В очереди не может быть больше 3-х машин. Интенсивность и среднее время заправки равны 2.1 и 0.55. Найти вероятность простоя системы.
Решение:
Интенсивность потока обслуживания равна μ = 1/0.55 = 1.82. Отсюда, интенсивность нагрузки составит ρ = λ • tобс = 2.1 • 0.55 = 1.16. Заметим, что интенсивность нагрузки ρ=1.16 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Поскольку 1.16

1. СМО с отказами

В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

а) Одноканальная СМО с отказами

Наиболее простой из рассматриваемых задач в рамках теории массового обслуживания является модель одноканальной СМО с отказами. В данном случае количество каналов равно 1. Этот канал принимает пуассоновский поток заявок. Если заявка прибыла в канал, который в данный момент не является свободным, она получает отказ и больше не числится в системе.

A – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени.

Q – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой (или вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена).

Pотк – вероятность отказа – вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной.

λ — среднее число требований, поступающих за единицу времени, 1/μ — среднее время обслуживания одним каналом одного требования.

В фирму поступает простейший поток заявок на телефонные переговоры с интенсивностью λ = 90 вызовов в час, а средняя продолжительность разговора по телефону = 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

б) Многоканальная СМО с отказами

В многоканальных СМО имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ . Поток каждого канала имеет интенсивность μ. Если в момент прибытия заявки нет свободных каналов, то эта заявка получает отказ и больше не числится в системе.

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны

2. Вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов

3. Вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, превосходит число обслуживающих аппаратов

4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты

5. Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена

6. Абсолютная пропускная способность получается умножением интенсивности заявок на относительную пропускную способность

7. Среднее число каналов занятых обслуживанием

8. Среднее время ожидания начала обслуживания в системе

9. Среднее число свободных от обслуживания каналов:

10. Коэффициент простоя каналов:

11. Коэффициент загрузки каналов

В фирму поступает простейший поток заявок на телефонные переговоры с интенсивностью λ = 90 вызовов в час, а средняя продолжительность разговора по телефону = 2 мин. Определить оптимальное число телефонных номеров в фирме, если условием оптимальности считать удовлетворение из каждых 100 заявок на переговоры в среднем не менее 90 заявок.

Читайте также:  Как заблокировать номер теле2 чтобы не звонили

2. СМО с ожиданием

a) Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

Рассмотрим одноканальную СМО, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Предположим, что поток обслуживаний также простейший с интенсивностью μ . Это означает, что непрерывно занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени. Заявка, поступившая в СМО в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Далее предполагаем, что в системе имеется ограничение на длину очереди, предполагаем, что в очереди могут находиться максимум m (m≥1) заявок. Поэтому заявка, пришедшая на вход СМО, в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, получает отказ и покидает систему не обслуженной.

Основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием

1. Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени

2. Абсолютная пропускная способность системы

3. Среднее число заявок в очереди Lоч определяется как математическое ожидание случайной величины – числа заявок, стоящих в очереди:

4. Важной характеристикой СМО с ожиданием является среднее время ожидания заявки в очереди Tоч . которая называется формулой Литтла

т.е. среднее время ожидания заявки в очереди равно среднему числу заявок в очереди ,деленному на интенсивность λ входящего потока заявок

5. Вероятность отказа

На АЗС имеется одна колонка. Площадка, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более трех машин одновременно, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю АЗС. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин. Определить основные характеристики системы.

б) Одноканальная СМО с неограниченным ожиданием

Если λ > μ (α > 1), т.е. среднее число заявок, поступивших в систему за единицу времени, больше среднего числа обслуживаемых заявок за то же время при непрерывно работающем канале, то очевидно, что очередь неограниченно растет. В этом случае предельный режим не устанавливается и предельных вероятностей состояний не существует (они равны нулю).

В случае λ = μ (α = 1) при условии, что входящий поток заявок и поток обслуживаний регулярные (заявки поступают через равные интервалы времени, и время обслуживания одной заявки является постоянным, равным интервалу времени между поступлениями заявок), очереди не будет и канал будет обслуживать заявки непрерывно.

Но если входящий поток или поток обслуживаний становится случайным, очередь начинает расти до бесконечности. Поэтому далее при рассмотрении указанных систем будем предполагать, что λ < μ ,т.е. α < 1. При этом условии с течением времени устанавливается предельный режим, и предельные вероятности состояний существуют.

При отсутствии ограничений на очередь каждая заявка, поступившая в СМО, будет обслужена. Поэтому вероятность отказа равна нулю Pотк = 0. Следовательно, вероятность того, что поступившая заявка будет принята в систему,так же как и относительная пропускная способность равна единице Q = 1 — Pотк = 1.

Тогда для абсолютной пропускной способности A (и интенсивности выходящего потока) будем иметь: A = λQ = λ , т.е. интенсивности входящего и выходящего потоков совпадают.

Основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием

1. Среднее число заявок в очереди

2. Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла равно

3. Среднее время пребывания заявки в СМО складывается из среднего времени заявки в очереди и среднего времени обслуживания заявки :

В парикмахерской работает только один мужской мастер. Среднее время стрижки одного клиента составляет 20 мин. Клиенты в среднем приходят каждые 25 мин. Средняя стоимость стрижки составляет 60 руб. Как в первую смену с 9 до 15, так и во вторую – с 15 до 21, работают по одному мастеру. Определить ежедневный «чистый» доход каждого мастера, если он получает только 30% от выручки (остальное уходит на оплату аренды, налоги, и проч.).

Читайте также:  Вычисление логарифма по основанию 2

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

1) — абсолютную пропускную способность СМО , т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

2) — относительную пропускную способность , т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

3) — вероятность отказа , т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

4) — среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Одноканальная система (СМО) с отказами

Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживании имеет интенсивность . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Примечание. Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживании — поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания обратно по величине интенсивности , т.е. .

Система (СМО) имеет два состояния: — канал свободен, — канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. выше правило составления таких уравнений)

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие , найдем из (18) предельные вероятности состояний

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии (когда канал свободен) и (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность системы и вероятность отказа

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность на интенсивность потока отказов

Пример 5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью , равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение. Имеем (1/ч), мин. Интенсивность потока обслуживании (1/мин) (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО , т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит (см. (21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (29) , т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система (СМО) с отказами.

Рассмотрим классическую задачу Эрланга . Имеется каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживании имеет интенсивность . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): , где — состояние системы, когда в ней находится заявок, т.е. занято каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью . Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии (два канала заняты), то она может перейти в состояние (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет . Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния (три канала заняты) в , будет иметь интенсивность , т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

Читайте также:  Стоимость sms на номер 900

В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния

где члены разложения , будут представлять собой коэффициенты при в выражениях для предельных вероятностей . Величина

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала . Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

Формулы (25) и (26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все я каналов системы будут заняты, т.е.

Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число занятых каналов есть математическое ожидание числа занятых каналов:

где — предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (25), (26).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

Пример 6. В условиях примера 5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.

Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (25) , т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) и определим по формулам (25), (28), (29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при имеем

Значение характеристик СМО сведем в табл. 1.

По условию оптимальности , следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае — см. табл. 1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок , а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (30) .

Пример 7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. По условию (1/ч), =3 (ч). Интенсивность потока обслуживании . Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) . Найдем предельные вероятности состояний:

т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% — имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% — две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени — три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, .

По формуле (28) относительная пропускная способность центра , т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра , т.е. в один час в среднем обслуживается. 0,242 заявки.

По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ , т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на .

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны — значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

Ссылка на основную публикацию
Смарт часы фикситайм 3 отзывы
Данный товар недоступен для доставки в Ваш регион Мы всегда стремимся к лучшему, чтобы радовать своих покупателей самыми выгодными ценами....
Сколько метров полоса разгона
Добрый день, уважаемый читатель. В этой статье речь пойдет про дополнительные полосы, предназначенные для разгона и торможения транспортных средств. Такие...
Сколько микрофонов в телефоне
Автор : Семён Романов Время чтения: 2 минуты Содержание Типы микрофонов Расположение в устройстве Возможности гарнитуры Как происходит подавление шумов...
Смарт часы эпл для детей
1 min Apple Watch — самые популярные умные часы в мире. Является ли это идеальным выбором для вашего ребенка, зависит...
Adblock detector