Как найти отношение отрезков

Как найти отношение отрезков

Если даны два прямолинейных отрезка АВ и EF, то определено вещественное число (рациональное или иррациональное), показывающее, сколько раз отрезок EF укладывается в отрезке АВ: именно, если существует такое натуральное число n, что часть отрезка укладывается без остатка, положим, m раз, в отрезке АВ, то есть рациональное число — если же такого натурального числа n нет, то есть иррациональное число, к которому с любой точностью можно приблизиться рациональными числами: взяв как угодно большое натуральное число n, мы найдем такое натуральное число m, что часть отрезка EF уложится раз на отрезке АВ с некоторым остатком, а раз уже не уложится. Взяв n достаточно большим, можно достигнуть того, что рациональное число со сколь угодно малой ошибкой приближает искомое иррациональное X. Число к называется отношением отрезка АВ к отрезку EF. Если оно равно 1 (и только в этом случае), то отрезки равны (конгруэнтны) между собою. Если отрезок EF примят за единицу измерения длин, то число X есть длина отрезка АВ, измеренная посредством этой единицы измерения.

Все это содержится в курсе средней школы; однако любознательный и критически настроенный читатель может испытать беспокойство при пользовании такими словами, как «укладывание» одного отрезка в другом, «с остатком» или «без остатка» и т. п. Понятиям, выражаемым этими словами, не дается точного определения. Это беспокойство устраняется аксиоматическим построением геометрии. Правда, при этом тоже приходится пользоваться понятиями, которые никак не определяются (например, понятием совмещения двух отрезков или их конгруэнтности), а также утверждениями (аксиомами), которые никак не доказываются.

Но при аксиоматическом построении геометрии но крайней мере дается точный и полный перечень всех «первоначальных» (т. е. не подлежащих определению) понятий и всех не подлежащих доказательству утверждений (аксиом). После того как этот перечень сделан, все остальное доказывается уже посредством строгих логических рассуждений; кроме того, доказывается, что принятая исходная система предложений (а следовательно, и все, что из нее выводится посредством дальнейших рассуждений) не содержит противоречия, не может привести ни к какому нелепому выводу.

Эту цель строго аксиоматического построения геометрии наши лекции себе не ставят. Такое построение геометрии составляет содержание отдельной геометрической дисциплины, называемой «основаниями геометрии». Мы же будем употреблять элементарные геометрические понятия в том наивном смысле, в каком они употребляются в школьном курсе геометрии, зная, что под них можно подвести безупречное аксиоматическое основание.

Мы не будем также определять вещественные (действительные) числа, хотя будем ими постоянно пользоваться: подробная теория вещественных чисел излагается в первых главах любого современного курса анализа, и читатель должен ее хорошо знать.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 82. ОТНОШЕНИЕ ОТРЕЗКОВ.

Отношением двух отрезков называется отношение тех чисел, которые выражают длины этих отрезков при условии, что отрезки измерены единицами одного наименования.

В арифметике отношением одного числа к другому называется частное от деления первого числа на второе, поэтому можно сказать, что отношением одного отрезка к другому является частное от деления длины первого отрезка на длину второго, если длины отрезков выражены в единицах одного наименования.

Читайте также:  Ir2130 datasheet на русском

Отношение одного отрезка к другому обычно изображается в виде частного (дроби): AB /CD.

Если даны два отрезка АВ = 6 см и СD = 4 см, то отношение отрезка АВ к отрезку СD равно 6 /4, т. е.

В этом случае делимое (АВ) называется предыдущим членом отношения,
делитель (СD) — последующим членом отношения, а частное (1,5) — отношением.

Отношение отрезка СD к отрезку АВ равно 4 /6, т. е.

Это отношение в десятичных дробях придётся выражать приближённо: CD /AB ≈ 0,67
(с точностью до 0,01 с избытком), так как CD /AB =0,6666. .

Если длины отрезков выражены приближённо, то отношение тоже получится приближённым.

Пусть АВ ≈ 6,5 см, СD ≈ 2,7 см, тогда AB /CD ≈ 6,5 /2,7 , AB /CD ≈ 2,4 (с точностью до 0,1 с недостатком).

2. Независимость отношения от принятой единицы измерения.

Пусть мы имеем два отрезка, длины которых выражены в метрах. Например: АВ = 6 м, ОС = 2 м. Найдём их отношение:

Изменится ли величина отношения, если мы длины этих отрезков выразим в других мерах, например в сантиметрах? Тогда АВ = 600 см, ОС = 200 см. Найдём их отношение:

Отношение отрезков в том и другом случае не изменилось, так как для выражения длин отрезков в сантиметрах мы оба члена отношения АВ и ОС умножили на одно и то же число (на 100). Значит, отношение отрезков не зависит от выбора единиц измерения.

Необходимо лишь, чтобы длины обоих отрезков были выражены мерами одного и того же наименования.

1. Найти отношение отрезков AВ и СD при условии, если:
а) АВ = 12см, СD = 3 см;
б) АВ = 2 м; СD = 80 см.

2. Найти отношение отрезков АВ и СD с точностью до 0,1 и 0,01 при условии, если:
а) АВ = 7 см, СD = 3 см;
б) АВ = 13 см, СD = 7 см.

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

«Соотношения отрезков в треугольнике:

Теорема Фалеса, теорема Менелая, правило масс»

провела: Громова Е.А

помогали: учащиеся 11А класса

г.о. Жуковский, 2018г.

Тип урока: урок с элементами бизнес игры.

Цель: провести обзор пройдённых теорем, актуализировать и обобщить знания учащихся по решению задач, с их использованием. Показать применение при решении задач ОГЭ и ЕГЭ.

Комментарий: урок проводится в форме бизнес игры, в которой учащиеся 11 класса проводят рекламную акцию по использованию теорем при решение задач на отношения отрезков в треугольнике.

Здравствуйте ребята, сегодняшний наш урок пройдет в нетрадиционной форме. Сегодня мы поиграем и помогут нам в этом (учитель представляет ведущих)

Задачи на соотношения, сложные задачи! И многие ученики не умеют или боятся их решать! Мы попробуем доказать, что эти задачи могут оказаться легкими, если знать приемы их решения. Теоремы о которых будет идти сегодня речь знаем, просто ребята обобщат наши знания, и мы посмотрим эти способы в сравнении.

Читайте также:  Замена цвета глаз в фотошопе

А в конце урока проведем опрос: Кому какая теорема ближе, каждый из ребят попробует убедить вас, что именно его теорему надо применять!

2. Теорема Фалеса, обзор теории, примеры решения задач.

Представим вам традиционный способ решения данного вида задач, с помощью Теоремы Фалеса.

Теорема о пропорциональных отрезках

(Расширенная теорема Фалеса)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М так, что MB = МС, а на стороне АС взята точка К так, что АК = 3 КС. Отрезки ВК и АМ пересекаются в точке О. Найдите AO/OM

Решение. Обозначим длину отрезка КС через а, тогда АК = За. Проведём MP||ВК По теореме Фалеса КР = РС = а/2. По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

Задача 2. (Решим быстро и устно)

На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты точки М и N, такие, что AM/MB = CN/NA = 1/2.

Отрезки BN и СМ пересекаются в точке К. Найти отношения отрезков BK/KN и CK/KM.

3. Теорема Менелая, обзор теории, примеры решения задач.

Представим Вам способ решения задач, с которым знакомят в профильном классе с помощью Теоремы Менелая.

Теорема: Теорема Менелая (ок. 100 г. н.э.). Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причём C 1 – точка пересечения со стороной AB, A 1 – со стороной BC, B 1 – с продолжением стороны AC.

Тогда выполняется равенство:

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найти отношение BF :FA

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.

4. Правило масс, обзор теории, примеры решения задач

Представим Вам совсем не традиционный способ, с которым вообще мало кто знаком, с помощью правила масс.

1. Пусть есть качели. Обозначим их в виде отрезка АВ и будем их считать невесомыми.(рис.1)

2. Причем, в точках А и В подвешены гирьки с массами m1 и m2. Для определенности будем считать, что m2>m1.(рис.2)

3. Задача найти в этом случае ту точку, которая уравновесит данные качели. Логично, что если эту точку поставить в середине отрезка, то m2 перевесит.(рис.3)

4. Центр масс данной системы двух точек будет такая точка О данного отрезка, что AO*m1 = BO*m2. Или соответственно: (рис.4)

Читайте также:  Ремонт внешнего жесткого диска новосибирск

В треугольнике АВС проведены отрезки ВМ и АN так, что ВN: NC=1:5, а АМ: МС=1:2. Найти ВО:ОМ и АО:ON, где О — точка пересечения отрезков.

Помещаем в вершину С массу, равную единице. Поскольку точка М делит сторону АС в отношении 1:2, то по правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная двум. Аналогично в точку В быть помещена масса, равная пяти, т. к. ВN: NC=1:5

1) 2А,5В,1С с центром масс в точке О.

2) 2A+1C=3M; 5В,3М — сист. Мат точек с ц. м. в т. О

По правилу рычага ВО:ОМ=3:5

3) 5В+1C=6N; 6N, 2А — сист. Мат точек с ц. м. в т. О

По правилу рычага АО:ОN=6:2=3:1

Ответ: ВО:ОМ=3:5, АО:ОN=6:2=3:1

Задача 6. ( ОГЭ. №26) (решают вместе с классом)

В треугольнике АВС из вершин А и В проведены отрезки АК и ВЕ, причем точки К и Е лежат на сторонах ВС и АС соответственно. Отрезки АК и ВЕ пересекаются в точке М так, что АМ : МК = 5, ВМ : МЕ = 2. Найдите отношения АЕ : ЕС и ВК : КС.

Поместим в точку А массу m,тогда по правилу рычага в точке К будет 5m из этого следует, что в точке М будет m+5m=6m.

Т.к. ВМ : МЕ = 2, то поместив некую массу m2 в т. В, то в Е получим 2m2, тогда в М 3m2, соответственно m2=2m, тогда в В будет 2m, а в Е 4m, тогда в С 4m-m=3m, тогда АЕ : ЕС= 3 и

5. Ну а теперь проверим какая теорема вам показалась более простая!

Задача 7.(решим самостоятельно, любым понравившимся вам способом)

На стороне ВС треугольника АВС взята точка D такая, что ВD : DC = 2:5, а на стороне АС точка Е такая, что . К точка пересечения отрезков А D и ВЕ. В каком отношении делится отрезок А D точкой К ?

Поверяем решение задачи.

5. Подведение итогов.

Опрос ребят, по выбору понравившейся теоремы.

Подсчет голосов, выбор победителя.

Итог: сегодня мы вспомнили все теоремы, порешали задачи, посмотрели, как их можно применять на экзаменах. Дома вы еще раз посмотрите и вспомните как решаются такие задачи.

1 Задача на нахождение отношения на внутренних отрезках треугольника (тремя способами)

В треугольнике АВС точка М – середина АВ, точка N такая, что BN : NC = 3 : 2.

Прямая МN пересекает прямую АС в точке К. Найти отношение КС : АК.

2. Задача на соотношения отрезков на сторонах треугольника (любым способом)

В треугольнике АВС отрезки AD и ВЕ, проведённые из вершин А и В к сторонам ВС и АС соответственно, делятся точкой пересечения Q в соотношении AQ : QD = 7 : 5, BQ : QE = 3 : 4.

В каков отношении точки D и Е делят сторону треугольника?

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector