Эквивалентные бесконечно малые величины

Эквивалентные бесконечно малые величины

Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) = 0 и lim x → x 0 β ( x ) = 0 .

Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются эквивалентно бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .

Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Когда имеем α ( x ) как бесконечно малую функцию со значением x → x 0 .

sin ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
t g ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
a r c sin ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
a r c t g ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
1 — cos ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x ) 2 2
ln ( 1 + α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
α α ( x ) — 1 эквивалентна α ( x ) ln α
1 + α ( x ) p — 1 эквивалентна p α ( x )
1 + α ( x ) 1 p — 1 эквивалентна α ( x ) p

Для доказательства эквивалентности основываются на равенстве lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .

Доказать эквивалентность бесконечно малых величин ln ( 1 + α ( x ) ) и α ( x ) .

Необходимо вычислить предел отношения данных величин lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) .

При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1 α ( x ) ln ( 1 + α ( x ) ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )

Запишем предел вида

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )

Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x )

Необходимо произвести замену переменных t = α ( x ) . Имеем, что α ( x ) является бесконечно малой функцией с x → x 0 , тогда lim x → x 0 a ( x ) = 0 . Отсюда следует, что t → 0 .

Предел принимает вид

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1

Ответ: lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1

Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.

Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.

Вычислить предел функции lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 .

Производится подстановка значений

lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = 1 — cos ( 4 · 0 2 ) 16 · 0 4 = " open=" 0 0

Читайте также:  Assassins creed unity uplay r1 loader64 dll

Полученная неопределенность говорит о том, что функция бесконечно малая и для ее разрешения необходимо обратиться к таблице эквивалентных бесконечно малых. Тогда получаем, что функция 1 — cos α ( x ) является эквивалентной α ( x ) 2 2 , тогда имеем, что 1 — cos ( 4 x 2 ) является эквивалентной 4 x 2 2 2 .

После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:

lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = " open=" 0 0 = lim x → 0 ( 4 x 2 ) 2 2 16 x 4 = lim x → 0 16 x 4 32 x 4 = 1 2

Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что

lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = " open=" 0 0 = lim x → 0 1 — cos ( 4 x 2 ) ‘ 16 x 4 ‘ = lim x → 0 8 x sin ( 4 x 2 ) 64 x 3 = = lim x → 0 sin ( 4 x 2 ) 8 x 2 = " open=" 0 0 = lim x → 0 sin 4 x 2 ‘ 8 x 2 ‘ = lim x → 0 8 x cos ( 4 x 2 ) 16 x = 1 2 lim x → 0 cos ( 4 x 2 ) = 1 2

Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что

lim x → 0 1 — cos ( 4 x 2 ) 16 x 4 = " open=" 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 ( 2 x 2 ) 16 x 4 = = lim x → 0 1 2 · sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 · sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = 1 2 lim x → 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 · lim x → 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = = п у с т ь t = 2 x 2 , t → 0 п р и x → 0 = 1 2 lim t → 0 sin ( t ) t · lim t → 0 sin ( t ) t = 1 2 · 1 · 1 = 1 2

Для раскрытия неопределенностей ноль делить на ноль $[frac<0><0>]$ очень удобно использовать таблицу эквивалентности пределов. Важно, чтобы аргумент функции стремился к нулю. Только в этом случае возможно делать замену.

Формулы эквивалентности пределов
$$ sin x sim x $$ $ e^x — 1 sim x $
$ tg ;x sim x $ $ a^x — 1 sim xln a $
$$ arcsin x sim x $$ $$ ln (1+x) sim x $$
$ arctg ; x sim x $ $log_a (1+x) sim frac<ln a>$
$$ 1- cos x sim frac <2>$$ $$(1+x)^a — 1 sim ax $$
Пример 1
Найти пределы используя эквивалентные бесконечно малые функции $lim_limits frac <arcsin x>$
Решение

Подставляем точку $x=0$ в предел и получаем неопределенность.

Замечаем под пределом две функции, для которых можно использовать формулы эквивалентных бесконечно малых функций. Но перед этим проверим, что аргументы их стремятся к нулю.

Читайте также:  Турбо паскаль самоучитель для начинающих

$$ sin 0^2 = sin 0 = 0 $$ $$ arcsin 0 = 0 $$

Значит для нашей задачи получаем следующие замены.

$$ sin x^2 sim x^2 $$ $$ arcsin x sim x $$

Подставим эквивалентности в предел, чтобы вычислить ответ.

Сокращаем знаменатель и подставляем в оставшееся выражение под числителем $x=0$.

$$ = lim_limits x^2 = 0^2 = 0 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$ lim_limits frac <arcsin x>= 0 $$

В пределе получаем неопределенность ноль делить на ноль $[frac<0><0>]$. Замечаем, что числитель похож на формулу из таблицы эквивалентности пределов. Подставим в него точку $x=0$.

$$ 1- cos (4 cdot 0) = 1-cos 0 = 1 — 1 = 0 $$

Получили, что числитель равен нулю при $x=0$, а это значит допустима замена на бесконечно малую функцию.

Возвращаемся к пределу, подставляя в него полученное выражение для числителя.

Пример 2
Заменяя эквивалентными бесконечно малыми найдите предел $ lim_limits frac<1-cos 4x> $
Решение
Ответ
$$ lim_limits frac<1-cos 4x> = 0 $$

Подставив $x=1$ получаем неопределенность $[ frac<0> <0>] $. Замечаем, что в числителе присутствует синус, который есть в таблице эквивалентностей. По необходимому условию аргумент синуса должен стремиться к нулю, чтобы применить формулу эквивалентности. Проверим это подставив $x=1$ в него.

$$ sin (1-1) = sin 0 = 0 $$

Проверка показала, что формулу можно применить, так как аргумент равен нулю.

Применяя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя упрощаем его.

i(x) — б. м.ф. при х — хо- Нетрудно видеть, что Эквивалентные бесконечно малые функции условие эквивалентности символы Ландау так что отношение эквивалентности обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности. Приведем примеры эквивалентных бесконечно малых функций. В свое время мы установили, что Нетрудно показать, что Докажем, что Положим . Отсюда Ясно, что у Следовательно, Поэтому В частности, при получаем 0 при Докажем, что Положим . Тогда , откуда Ясно, что Используя равенство (1), пологим Переходя к пределу при х 0 (у 0), найдем Итак, Таблица эквивалентных бесконечно малых функций (асимптотических равенств) Определение. Если для функции /(х) можно подобрать числа anm,a^0,mG N, такие, что f(x)

р(х), х -* х0. По условию Отсюда что означает эквивалентность при х х0. Пример. Функции есть б. м. ф. при х 0. Их разность -у(х) = 2х3 при х — 0 является б. м. более высокого порядка, чем а(х) и /3(х). Следовательно, а(х)

/?(х), х — Пусть функции определены в некоторой окрестности П точки х0, кроме, быть может, самой точки х0, и пусть в некоторой окрестности По точки х0, х Ф- х0, р(х) Ф 0 (здесь точка х0 может быть конечной и бесконечной). Говорят, что /(х) есть о-малое от у?(х) и пишут если Соотношение , означает таким образом, что функция /(х) есть бесконечно малая по сравнению с ^(х) при х — х0. В частности, соотношение /(х) = о(1), х хо, означает, что /(х) — бесконечно малая функция при х хо. Примеры. Говорят, что /(х) есть О-большое от прихи пишут если существует число и окрестность П0 точки х0 такие, что Соотношение , означает, что /(х) ограничена в окрестности точки Хо- Примеры. Эквивалентные бесконечно малые функции условие эквивалентности символы Ландау Использование знака равенства в рассматриваемой ситуации является чисто условным, так как некоторые свойства знака равенства не сохраняются. Например, из «равенства» Напомним, что если то функции называют эквивалентными или асимптотически равными при и пишут Пользуясь таблицей (2) эквивалентных б. м. ф. и теоремой 25, получаем асимптотические формулы Всю группу соотношений , называют асимптотическими формулами или асимптотическими оценками. Упражнения Найдите пределы: Пользуясь эквивалентными б. м. ф., найдите пределы:

Информация расположенная на данном сайте несет информационный характер и используется для учебных целей.
© Брильёнова Наталья Валерьевна

Пример 3
Вычислить предел функции используя эквивалентно малые величины $lim_limits frac<sin (x-1)> $
Решение
Ссылка на основную публикацию
Adblock detector