Является ли отношение рефлексивным

Является ли отношение рефлексивным

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: хRх. Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения.

Примерами рефлексивных отношений являются и отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое число кратно самому себе), и отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе), и отношение «равенства» (каждое число равно самому себе) и др.

Существуют отношения, не обладающие свойством рефлексивности, например, отношение перпендикулярности отрезков: ab, ba (нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе). Поэтому на графе данного отношения нет ни одной петли.

Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков, «больше на 2» для натуральных чисел и др.

Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если для любого элемента из множества Х всегда ложно хRх: .

Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Примером такого отношения может служить отношение «точка х симметрична точке у относительно прямой l», заданное на множестве точек плоскости. Действительно, все точки прямой l симметричны сами себе, а точки, не лежащие на прямой l, себе не симметричны.

Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y, следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х: xRyyRx .

Граф симметричного отношения обладает следующей особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к y, граф содержит стрелку, идущую от y к х (рис. 35).

Примерами симметричных отношений могут быть следующие: отношение «параллельности» отрезков, отношение «перпендикулярности» отрезков, отношение «равенства» отрезков, отношение подобия треугольников, отношение «равенства» дробей и др.

Существуют отношения, которые не обладают свойством симметричности.

Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Граф этого отношения обладает особенностью: стрелка, соединяющая вершины, направлена только в одну сторону.

Отношение R называют антисимметричным, если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложность yRx: : xRyyRx.

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков существуют и другие антисимметричные отношения. Например, отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может быть больше х), отношение «больше на» и др.

Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.

Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z: xRy и yRzxRz.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к y и от y к z, содержит стрелку, идущую от х к z.

Свойством транзитивности обладает и отношение «длиннее» на множестве отрезков: если отрезок а длиннее отрезка b, отрезок b длиннее отрезка с, то отрезок а длиннее отрезка с. Отношение «равенства» на множестве отрезков также обладает свойством транзитивности: (а=b, b=с)(а=с).

Существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку b, а отрезок b перпендикулярен отрезку с, то отрезки а и с не перпендикулярны!

Читайте также:  Редактирование mp4 без перекодирования

Существует еще одно свойство отношений, которое называется свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.

Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y, либо элемент y находится в отношении R с элементом х. С помощью символов это определение можно записать так: xy xRy или yRx.

Например, свойством связанности обладает отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и y можно утверждать, либо x>y, либо y>x.

На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, которые не обладают свойством связанности. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и y, что ни число х не является делителем числа y, ни число y не является делителем числа х (числа 17 и 11, 3 и 10 и т.д.).

Рассмотрим несколько примеров. На множестве Х= задано отношение «число х кратно числу y». Построим граф данного отношения и сформулируем его свойства.

Про отношение равенства дробей говорят, оно является отношением эквивалентности.

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Примерами отношений эквивалентности могут служить: отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).

В рассмотренном выше отношении «равенства дробей», множество Х разбилось на три подмножества: <; ; >, <; >, <>. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х, т.е. имеем разбиение множества на классы.

Итак, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества – классы эквивалентности.

Так, мы установили, что отношению равенства на множестве
Х= <;; ; ; ; > соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.

Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?

Во-первых, эквивалентный – это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности <; ; >, неразличимы с точки зрения отношения равенства, и дробь может быть заменена другой, например . И эта замена не изменит результата вычислений.

Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. Определение класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.

В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные прямые между собой.

Другим важным видом отношений являются отношения порядка. Рассмотрим задачу. На множестве Х=<3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10> задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Это отношение порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке (это числа 3, 6, 9). Во второй – числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 4, 7, 10). В третий попадут все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 5, 8). Действительно, полученные множества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве Х, является отношением эквивалентности.

Читайте также:  Html как разбить текст на колонки

Возьмем еще пример: множество учащихся класса можно упорядочить по росту или возрасту. Заметим, что это отношение обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Или всем известен порядок следования букв в алфавите. Его обеспечивает отношение «следует».

Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Например, отношение «х Просмотров 126 203 Комментариев 0

В математике бинарное отношение на множестве называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении с самим собой.

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент имеет петлю — дугу (х, х).

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества , то отношение называется антирефлексивным.

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения определяется как: .

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества , говорят, что отношение нерефлексивно.

Примеры рефлексивных отношений

отношение сравнимости по модулю

отношение параллельности прямых и плоскостей [ источник не указан 191 день ]

отношение подобия геометрических фигур;

отношения нестрогого порядка:

отношение нестрогого неравенства

отношение нестрогого подмножества

Примеры антирефлексивных отношений

отношения строгого порядка:

отношение строгого неравенства

отношение строгого подмножества

отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в геометрии.

20. Симметричность бинарного отношения. Пример

Симметричность: для любых двух элементов а, b є М : аRb и bRа (т.е. R = R -1 ). Симметрична параллельность прямых, так как если a II b, то

b II a («быть равным»; «быть взаимнопростым»).

21. Антисимметричные бинарные отношения. Пример

Aнтисимметричность: если для а ≠ b верно отношение аRb, то ложно bRа («быть больше», «не меньше», «быть делителем»).

R = <(x,y) : x є R, у є R, х-у ≥ 1>обладает свойствами антисимметрич-ности

22. Транзитивные бинарные отношения. Пример

Транзитивность: если аRb и bRс, то аRс для любых а, b, с є М («быть больше», «быть параллельным», «быть равным»).

23. Отношение эквивалентности. Пример

Бинарное отношение a на множестве X называется отношением эквивалентности на X, если a рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение эквивалентности часто обозначают символами

,.

Примерами отношения эквивалентности служат:

отношение тождества IX = <(a, a)|aX> на непустом множестве X;

отношение параллельности на множестве прямых плоскости;

отношение подобия на множестве фигур плоскости;

отношение равносильности на множестве уравнений;

отношение "иметь одинаковые остатки при делении на фиксированное натуральное число m" на множестве целых чисел. Это отношение в математике называют отношением сравнимости по модулю m и обозначают ab (mod m);

Читайте также:  Nvidia geforce gtx 1050 gpu

отношение "принадлежать одному виду" на множестве животных;

отношение "быть родственниками" на множестве людей;

отношение "быть одного роста" на множестве людей;

отношение "жить в одном доме" на множестве людей.

Отношения "жить на одной улице", "быть похожими" на множестве людей отношениями эквивалентности не являются, так как не обладают свойством транзитивности.

Из перечисленных выше свойств бинарных отношений следует, что пересечение отношений эквивалентности является отношением эквивалентности.

В математике , А бинарное отношение R над множеством X является рефлексивным , если каждый элемент X имеет отношение к себе. Формально, это может быть записано ∀ хX : х R х .

Пример рефлексивного отношения является отношение « равно » на множестве действительных чисел , так как каждое действительное число равно самому себе. Рефлексивное отношение называется иметь рефлексивный свойство или как говорят, обладает возвратность . Наряду с симметрией и транзитивностью , рефлексивность является одним из трех свойств , определяющих отношения эквивалентности .

содержание

Связанные термины

Бинарное отношение называется иррефлексивное , или анти-рефлексивный , если он не связан какойлибо элемент к себе. Примером может служить «больше чем» соотношение ( х > у ) на действительных чисел . Не всякое отношениекоторое не является рефлексивным иррефлексивно; можно определить отношениягде некоторые элементы связаны с собойно другие не являются (т.е., ни всени никто не). Такнапример, бинарное отношение «произведение х и у даже» рефлексивно на множестве четных чисел , иррефлексивных на множестве нечетных чисел, и нини рефлексивный иррефлексивное на множестве натуральных чисел .

на множестве X называется квази-рефлексивной , если каждый элемент , который связан с некоторым элементом также относится к себе, формально: ∀ х , уX : х

у ) . Примером является отношение «имеет тот же предел» на множестве последовательностей действительных чисел: не каждая последовательность имеет предел, и , следовательно , отношение не рефлексивно, но если последовательность имеет тот же предел при некоторой последовательности, то имеет тот же предел себе. Это имеет смысл distunguish влево и правый квази-рефлексивность , определяемый ∀ х , уX : х

у , repsectively. Например, левый евклидовой отношение всегда остается, но не обязательно верно, квази-рефлексивный.

на множество X называется корефлексивным , если для всех х и у в X справедливо , что если х

у , то х = у . Пример корефлексивного отношения есть отношение на целых числах , в котором каждый нечетное число имеет отношение к себе и не существуют никаких других отношений. Отношение равенства является единственным примером как рефлексивном и корефлексивного отношения, и любое корефлексивное отношением является подмножеством отношения идентичности. Объединение корефлексивная и транзитивного отношения всегда транзитивно.

Рефлексивное отношение на непустое множество X не может быть ни иррефлексивным, ни асимметричным , ни antitransitive .

на множестве X есть наименьшее рефлексивное отношение на X , который является надстройкой из

. Эквивалентно, это объединение

) ∪ (=). Например, рефлексивное замыкание ( Рефлексивное сокращение или иррефлексивное ядра , бинарное отношение

на множество X есть наималейшее отношение ≆ таким образом, что ≆ разделяет то же рефлексивное закрытие , как

. Можно видеть , таким образом , как противоположность рефлексивного закрытия. Это эквивалентно дополнению отношении идентичности на X по отношению к

) (=). То есть, это эквивалентно

для где кроме х

х верно. Например, рефлексивное уменьшение (≤) является ( Примеры

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector