Является ли множество рациональных чисел полем

Является ли множество рациональных чисел полем

Алгебраической структурой называется множество, на котором задана одна или несколько алгебраических операций.

Группы. Алгебраическая структура , где * — бинарная алгебраическая операция на G, называется группой, если:

* — ассоциативная операция, т.е. a*(b*c)=(a*b)*c;

, т.е. в G сущ. нейтральный элемент относительно этой операции;

3) существует симметричный элемент.

Если «+» g+g -1 =0 (обычно g -1 )=(-g)); g+(-g)=-g+g=0, то говорят, что g – противоположный элемент. Вместо симметричного, говорят, что элемент обратный.

Примеры: рассмотрим множество Z относительно операции сложения

0 – нейтральный элемент
a+(-a)=0

Если в группе G операция * коммутативна, то такая группа называется коммутативной или абелевой.

Также абелевыми группами являются: множество ; ; (рациональных, действительных и комплексных чисел)

не является группой, т.к. нарушено 3 условие (2×½=1, но ½ є Z)

не группа, т.к. не существует обратного элемента для нуля

группа (необходимо выбросить 0, для того чтобы рациональные числа «×» были группой).

Кольца. Множество, в котором заданы 2 алгебраические операции «+» и «×» наз. кольцом, если:

1)относительно «+» это множество является абелевой группой ;

2) «+» и «×» связаны законом дистрибутивности, т.е. (a+b)c=ac+bc (правый закон дистрибутивности) и с(a+b)=ca+cb (левый закон дистрибутивности)

Если «×» коммутативно, то кольцо тоже называется коммутативным.

Если «×» ассоциативно, то кольцо называется ассоциативным.

Пример: — коммутативное и ассоциативное кольцо.

1) — абелева группа, т.к. «+» коммутативно (a=b)=(b+a) и ассоциативно a+(b+c)=(a+b)+c

0 є Z и

2)ab=ba умножение коммутативно; a(bc)=(ab)c – ассоциативно

Не коммутативным, но ассоциативным кольцом является кольцо квадратных матриц.

Рассмотрим матрицу 2-го порядка:

абелева группа; выполняется дистрибутивность относительно сложения

абелева группа (множество матриц по сложению)

– нулевая матрица

– противоположная матрица

Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения: (A+B)C=AC+BC и C(A+B)=CA+CB

В кольцах могут быть делители нуля – это такие элементы a≠0, b≠0, но ab=0.

Существуют кольца как с делителями нуля, так и без делителей нуля. В полях делителей нуля нет.

— поле и a,b≠0; a,b є P

для a≠0 bP a -1

Если mod простой, то делителей нуля нет.

Делители нуля есть в кольцах матриц: =

Поля. Коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей называется полем, если для каждого ненулевого элемента есть обратный.

Наименьшим числовым полем является поле рациональных чисел. Q=

Полями также являются действительные (R) и комплексные (С) числа.

Характеристикой поля называется такое натуральное наименьшее число nєN, что если l=1, то , если такого n не существует, то это поле характеристики 0 (бесконечное поле).

Числовое множество, в котором есть 1 и в котором выполнимы операции «+», «×» и «-», «:» кроме (:0) называется числовым полем.

Полями характеристики 0 являются числовые поля Q, R, C.

Z/p, p – простое число.

Множество классов вычетов по простому полю является полем характеристики p. Поле характеристики p – p различных элементов.

Простейшие свойства поля. Пусть a, b – элементы поля F и b0. Уравнение bx=a имеет в поле решение ab -1 ; легко проверить, что ab -1 является единственным решением уравнения. Элемент ab -1 обозначается символом a/b.

Теорема: пусть F= — поле. Тогда для любых элементов a, b, c поля:

1) если ab=1, то a0 и b=a -1 ;

2) если ac=bc b с0 , то a=b;

3) если ab=0, то a=0 или b=0;

4) если a0 и b0, то ab0;

5) a/b=c/d тогда и только тогда, когда ad=bc, b0 и d0;

9) если a0 и b0, то (a/b) -1 =b/a;

Док-во 1-3:

1) если ab=1, то a0, т.к. при a=0 0*b=1 и 0=1, что в поле невозможно. Поскольку a0, существует элемент a -1 , обратный a и b=(a -1 a)b=a -1 (ab)=a -1 1=a -1 .

2) если ac=bc и c0, то в поле существует элемент с -1 и a=(ac)c -1 =(bc)c -1 =b, т.е. a=b.

3) из ab=0 следует a=0 или b=0. В самом деле, если a0, то существует элемент a -1 и b=(a -1 a)b=a -1 (ab)=a -1 0=0

Читайте также:  Цифровая приставка супра отзывы

Поле рациональных чисел. Полем рациональных чисел называется поле частных кольца целых чисел. Элементы поля рациональных чисел называются рациональными числами. Из определения следует, что любое рациональное число можно представить в виде частного целых чисел. Отметим, что любое поле, изоморфное полю рациональных чисел, также является полем рациональных чисел. Отношение порядка на множестве Q рациональных чисел вводится с помощью отношения порядка

5. Если x≤y, то для любого z: x+z≤y+z.

6. Если 0≤x и 0≤y, то 0≤xy.

Если все 6 свойств выполнены, то поле F называется упорядоченным.

Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано таком в виде:

При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, и , (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Здесь — наибольший общий делитель чисел и .

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель , то является целым числом. Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать). Заметим, кстати, что ещё древние греки убедились в существовании чисел, не представимых в виде дроби (например, они доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2)

Свойства

Основные свойства

Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел. [1]

  1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел и существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: « », « » или « ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два положительных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа и связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг неотрицательно, а — отрицательно, то .

  1. Операция сложения. Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется суммой чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: .

  1. Операция умножения. Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется произведением чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: .

  1. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел , и если меньше и меньше , то меньше , а если равно и равно , то равно .

  1. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.

  1. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

  1. Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.

  1. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.

  1. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.

  1. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Читайте также:  Mysql подсчитать количество строк

  1. Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.

  1. Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.

  1. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:

  1. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.

  1. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.

  1. Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт .

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

  • Отношение порядка «>» (с противоположным порядком аргументов) также транзитивно.

  • Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.

  • Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.

  • Множество рациональных чисел является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел ) относительно операций сложения и умножения дробей.

— поле

  • В позиционной системе счисления рациональное число представляется периодической дробью. Более того, наличие представления в виде периодической дроби является критерием рациональности вещественного числа.
  • Каждое рациональное число является алгебраическим.

25..Множество J иррациональных чисел

Примеры иррациональных чисел:

  • √ 2 = 1,41213652..
  • √ 3 = 1,730508075..
  • (число Пи ) π = 3,14159..
  • (основание натурального логарифма ) e = 2,71845..

Обозначается множество иррациональных чисел большой английской буквой [ай] — " I ".

Среди множества чисел иррациональные числа занимают особое место. Они не входят в рациональные числа.

Иррациональные числа ( в отличие от рациональных ) невозможно представить в виде дроби a / b, где a ∈ Z ( a принадлежит целым числам ), b∈N ( b принадлежит натуральным числам ).

26.Множество R действительных чисел

Вещественное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Веще́ственное, или действи́тельное число [1] — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений [2] .

Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия [3] . Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере [3] была создана строгая теория вещественных чисел.

Читайте также:  Бесплатные видеохостинги для загрузки видео

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R («полужирное R»), или (англ. blackboard bold «R») от лат. realis — действительный.

Система счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

  • даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
  • даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
  • отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.

Последнее изменение этой страницы: 2016-09-19; Нарушение авторского права страницы

Рациональные числа появляются в связи с решением следующей задачи. В кольце целых чисел уравнение ах = Ь не всегда разрешимо. Требуется найти минимальную область целостности, которая содержала бы кольцо целых чисел и в которой было бы разрешимо названное уравнение для любых а Ф 0 и Ь. Нетрудно сообразить, что область целостности, в которой для любых а Ф 0 и b разрешимо уравнение ах = Ь, является полем. Поэтому нужно найти минимальное поле, содержащее кольцо целых чисел. Докажем, что таким минимальным полем как раз и является поле рациональных чисел. Но сначала напомним определение подполя.

  • 4.1.5. Определение. Подполем поля (/>,+,*) называется подмножество Н сР, удовлетворяющее следующим условиям:
  • 1) Н замкнуто относительно сложения и умножения, то есть если a,be Я, то а + ЪеН и а-ЬеИ;
  • 2) нуль и единица поля принадлежат Н;
  • 3) если аеН, то -аеН, и если, кроме того, аФ 0, то а

] е Н.

  • 4.1.6. Теорема. Система (Р, +, ?) есть система рациональных чисел тогда и только тогда, когда она является минимальным полем, содержащим кольцо целых чисел.
  • Доказательство. (=>) По определению 4.1.3 система рациональных чисел (Q, +, •) есть поле, содержащее кольцо целых чисел (Z, +, •). Докажем свойство минимальности. Пусть Н подполе поля ((?,+, ) и Zc#. Докажем, что H = Q. По

    определению всякий элемент q^Q представим в виде q = —, где

    a,beZ, Ьф0. Поскольку 2сЯ, то по определению подполя

    я,Я -1 е Я, откуда q = —=a b

    ] g Н. Следовательно, Н =Q.

    ( ,+,•) является минимальным полем, содержащим кольцо целых чисел (Z, +, •). Обозначим

    Н = <—a,bGZJb*ty. Легко видеть, что Н является подполем,

    содержащим кольцо целых чисел, и по свойству минимальности Н = Q. Следовательно, всякий элемент из Р представим в виде отношения целых чисел и, в соответствии с определением 4.1.3, (/>,+,•) является системой рациональных чисел. ?

    Доказанная теорема позволяет определить систему рациональных чисел как минимальное поле, содержащее кольцо целых чисел.

    • 1. Найдите все собственные подполя поля (Р, +, •), где Р = <а + bJla,bQ>.
    • 2. Докажите, что поле рациональных чисел является минимальным полем, содержащим полукольцо натуральных чисел.
    • 3. Найдите соотношения между множествами: Q=<— a,b eZ,b * 0>;

    • ь р"
    • 4. Приведите примеры собственных подколец поля рациональных чисел, содержащих Z.
    • 5. Говорят, что поле (Р, +, •) с единицей е имеет характеристику 0, если для любого натурального числа п имеем пеФ 0. Докажите, что система (Р, +, -) есть система рациональных чисел тогда и только тогда, когда она являсгся минимальным полем характеристики 0.

    Построение поля рациональных чисел

    , положив (а,Ь)^(а^Ь) тогда и только тогда, когда аЬ <=аф.Такое определение отношения

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock detector