Является ли данная система векторов линейно зависимой

Является ли данная система векторов линейно зависимой

Определение. Линейной комбинацией векторов a 1, . an с коэффициентами x 1, . xn называется вектор

Свойства линейно зависимых векторов:

Примеры задач на линейную зависимость и линейную независимость векторов:

Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.

Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

x 1 + x 2 = 0
x 1 + 2 x 2 — x 3 = 0
x 1 + x 3 = 0

Решим эту систему используя метод Гаусса

1 1 0 0 1 2 -1 0 1 0 1 0

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

1 1 0 0 1 — 1 2 — 1 -1 — 0 0 — 0 1 — 1 0 — 1 1 — 0 0 — 0

1 1 0 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

1 — 0 1 — 1 0 — (-1) 0 — 0 0 1 -1 0 0 + 0 -1 + 1 1 + (-1) 0 + 0

1 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 0

Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел x 1, x 2, x 3 таких, что линейная комбинация векторов a , b , c равна нулевому вектору, например:

а это значит вектора a , b , c линейно зависимы.

Ответ: вектора a , b , c линейно зависимы.

Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

x 1 + x 2 = 0
x 1 + 2 x 2 — x 3 = 0
x 1 + 2 x 3 = 0

Решим эту систему используя метод Гаусса

1 1 0 0 1 2 -1 0 1 0 2 0

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

1 1 0 0 1 — 1 2 — 1 -1 — 0 0 — 0 1 — 1 0 — 1 2 — 0 0 — 0

1 1 0 0 0 1 -1 0 0 -1 2 0

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

1 — 0 1 — 1 0 — (-1) 0 — 0 0 1 -1 0 0 + 0 -1 + 1 2 + (-1) 0 + 0

1 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 1 0

из первой строки вычтем третью; к второй строке добавим третью:

1 — 0 0 — 0 1 — 1 0 — 0 0 + 0 1 + 0 -1 + 1 0 + 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Данное решение показывает, что система имеет единственное решение x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, а это значит вектора a , b , c линейно независимые.

Ответ: вектора a , b , c линейно независимые.

Линейная зависимость и независимость векторов

Читайте также:  Гора блэк где ключ

Определения линейно зависимой и независимой систем векторов

Пусть имеем систему из n-векторов и имеем набор чисел , тогда

(11)

называется линейной комбинацией данной системы векторов с данным набором коэффициентов.

Определение 23 (через нулевую линейную комбинацию)

Система векторов называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов , из которых хотя бы один не равен нулю, что линейная комбинация данной системы векторов с этим набором коэффициентов равна нулевому вектору:

. (12)

Пусть , тогда

Определение 24 (через представление одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы.

Определения 23 и 24 эквивалентны.

Определение 25 (через нулевую линейную комбинацию)

Система векторов называется линейно независимой, если нулевая линейная комбинация этой системы возможна лишь при всех равных нулю.

Определение 26 (через невозможность представления одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называется линейно независимой, если не один из векторов этой системы нельзя представить в виде линейной комбинации других векторов этой системы.

Свойства линейно зависимой и независимой систем векторов

Теорема 2 (нулевой вектор в системе векторов)

Если в системе векторов имеется нулевой вектор, то система линейно зависима.

 Пусть , тогда .

Получим , следовательно, по определению линейно зависимой системы векторов через нулевую линейную комбинацию (12) система линейно зависима. 

Теорема 3 (зависимая подсистема в системе векторов)

Если в системе векторов имеется линейно зависимая подсистема, то и вся система линейно зависима.

 Пусть — линейно зависимая подсистема , среди которых хотя бы одно не равно нулю:

Пусть

Значит, по определению 23, система линейно зависима. 

Читайте также:  Есть ли потомки у иисуса христа

Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

 От противного. Пусть система линейно независима и в ней имеется линейно зависимая подсистема. Но тогда по теореме 3 вся система будет также линейно зависимой. Противоречие. Следовательно, подсистема линейно независимой системы не может быть линейно зависимой. 

Геометрический смысл линейной зависимости и независимости системы векторов

Два вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда .

и — линейно зависимы , что выполняется условие . Тогда , т.е. .

линейно зависимы. 

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору

Для того чтобы два вектора были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы был не коллинеарен .

Для того чтобы система из трёх векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарными.

— линейно зависимы, следовательно, один вектор можно представить в виде линейной комбинации двух других.

, (13)

где и . По правилу параллелограмма есть диагональ параллелограмма со сторонами , но параллелограмм – плоская фигура компланарны — тоже компланарны.

— компланарны. Приложим три вектора к точке О:

C

B`

– линейно зависимы 

Нулевой вектор компланарен любой паре векторов.

Для того чтобы векторы были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были не компланарны.

Любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации любых двух неколлинеарных векторов этой же плоскости.

Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

 Рассмотрим 4 случая:

Если среди векторов есть нулевой вектор. Тогда система линейно зависима по теореме 2.

Если среди векторов имеется хотя бы 1 пара коллинеарных векторов. Тогда система линейно зависима по теоремам 5 и 3.

Если среди векторов имеется компланарная тройка векторов. Тогда система линейно зависима по теоремам 6 и 3.

Читайте также:  Региональная компьютерная сеть это

Если среди векторов нет нулевых векторов, коллинеарных пар и компланарных троек. Приложим эти 4 вектора к точке О.

. Проведем плоскость через векторы , затем плоскость через векторы и плоскость через векторы . Затем проведем плоскости, проходящие через точку D, параллельные парам векторов ; ; соответственно. По линиям пересечения плоскостей строим параллелепипед OB1D1C1ABDC.

Рассмотрим OB1D1C1 – параллелограмм по построениюпо правилу параллелограмма .

Рассмотрим OADD1– параллелограмм (из свойства параллелепипеда) , тогда

EMBED Equation.3 .

По теореме 1 такие, что . Тогда , и по определению 24 система векторов линейно зависимая. 

Суммой трёх некомпланарных векторов в пространстве является вектор, совпадающий с диагональю параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах, приложенных к общему началу, причём начало вектора суммы совпадает с общим началом этих трёх векторов.

Если в пространстве взять 3 некомпланарных вектора, то любой вектор этого пространства можно разложить в линейную комбинацию данных трёх векторов.

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

Далее, необходимо решить однородную систему линейных уравнений.

Как видим, первое и второе уравнения линейно зависимы, т.е. ранг системы равен 2. Так как ранг системы совпадает с числом неизвестных, то система имеет только нулевое решение.

Система линейно независима по критерию ЛНЗ.

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

Решение:

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

Составим систему линейных уравнений.

Решим систему уравнений методом Гаусса.

Общее решение системы будет иметь следующий вид:

Т.е. система линейно зависима по первому критерию ЛЗ.

Ссылка на основную публикацию
Электровелосипед polar pbk 1601
Цена: 29 990.00 р уб. Цена по акции: с НДС * ЕСТЬ В НАЛИЧИИ!Доставка в регионы только после оплаты. *...
Что такое видеопамять компьютера
Всё о Интернете, сетях, компьютерах, Windows, iOS и Android Видеопамять компьютера и объём памяти видеокарты VRAM Если открыть форум какой-нибудь...
Что такое вулкан рт на ноутбуке
Vulkan Run Time Libraries — кроссплатформенный API для работы с 2D и 3D графикой и повышения производительности графического процессора. Разработана...
Электродвигатель 300 об мин
Обратите внимание! Цена на электродвигатель варьируется при изменении параметров, стоимость уточняйте по email или тел. Электродвигатель на 300 кВт -...
Adblock detector