Фракталы применение в жизни

Фракталы применение в жизни

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Фрактальные рисунки – вершина вдохновения мастера на пути к совершенному единству математики, информатики и искусства. Такими представляются фракталы, которые строят современные компьютеры. Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг — это все фракталы.

Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а также революцией в человеческом восприятии мира.

Фрактальная геометрия–это революция в математике и математическом описании природы.

Перед проведением занятия, с помощи студентов колледжа, удалось провести небольшой опрос в 3-х группах, в которых у студентов спросили: “Знаете ли Вы, что такое фракталы, и где они применяются?”. Из 60-ти студентов, будущих IT-специалистов, лишь 3 студента (5%) знакомы с фракталами. Исходя из результатов данного опроса, информации о фракталах и их использовании в различных областях науки и жизнедеятельности современного человека, недостаточен. Очевиден вывод: данная тема актуальна и необходимо ее раскрыть.

Появление фракталов в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью. Известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. Общее мнение признало их патологией, не имеющей отношение к реальному миру и науке.

Пыль Кантора и линия Пеано.

Существование пыли Кантора отмечалось до этого Генри Смитом в 1875 году или ещё ранее.

Пеано нарисовал особый вид линии. Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм:

Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам. Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой-либо попытки их систематизировать.

Рождение и развитие фрактальной геометрии.

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Б. Мандельброта “Фрактальная геометрия природы”.

В своей работе Мандельброт использовал научные результаты учёных, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области. Среди них Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф.

Только в наше время удалось объединить эти работы в единую систему.

Новая фигура – фрактал — может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, горные хребты, береговые линии, поверхность Луны, и т.д. Древовидные фракталы применяются для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы.

Если рассматривать фрактальные объекты в различном масштабе, то нетрудно обнаружить одни и те же основные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную (фрактальную) размерность необычной геометрической фигуры.

Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б. Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальная геометрия природы") ставший классическим — "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки, мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра — мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно — длина берега Британии бесконечна.

Бенуа Мандельброт — первооткрыватель фрактальной геометрии.

Мандельброт увидел самоподобные фракталы там, где все остальные видели деньги.

Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике — фрактальной геометрии.

Сегодня Бенуа Мандельбротпрофессор Йельского университета, член американской Академии искусств и наук и Национальной академии наук США. Он удостоен многочисленных почетных степеней и наград.

Дать определение фракталу означает найти его инвариантные свойства. Было найдено два таких свойства:

  • дробная размерность;
  • самоподобие.

Фрактальная размерность.

"Геометры говорят, что линия есть длина без ширины, а мы скептики, не можем понять длины, не имеющей ширины, ни в чувственном, ни в умопостигаемом". (Секст Эмпирик, "Против ученых")

Как мы измеряем длину, площадь, объем? Мы говорим, "дорога, длиной в 1 км", "комната площадью 20 м 2 ","ведро объемом 10 дм 3 ". Обычно мы пользуемся приемами, которыми нас снабдила евклидова геометрия:

  • точка имеет нулевую размерность;
  • любая линия имеет одно измерение;
  • плоскость — два измерения;
  • куб — три измерения.

Эти основные размерности называют топологическими. Топологическая размерность i — это число измерений, с помощью которых можно однозначно задать положение точки на геометрическом объекте. В рассмотренных выше примерах i всегда целое число.

Как измерить размерность?

Понятие размерности является центральным понятием, из которого "выросла" фрактальная "идеология". Размерность зависит от способа, которым мы ее вычисляем. Чтобы определить размерность пространства D, разобьем все n-мерное пространство на малые кубики с длиной ребра eps и объемом eps n — рис.1. Пусть N(eps) — минимальное число кубиков, которые в совокупности полностью покрывают фрактальное множество, тогда по определению:

Эту величину обычно называют хаусдорфовой или фрактальной размерностью.

Рассмотрим пример вычисления хаусдорфовой размерности. Возьмем квадрат площадью 100 м 2 . Разделим каждую сторону на r частей. Пусть r = 10: получим N = 100 подобных объектов, т.е. 100 малых квадратов, каждый из которых подобен большому квадрату. Если мы умножим любой из меньших квадратов на 10, мы получаем первоначальный большой квадрат. Вычислим размерность D большого квадрата по формуле:

Читайте также:  Bat файлы windows 10

D = ln(100) /ln(10) = 2

Для квадрата Хаусдорфова размерность совпала с топологической.

Мандельброт дал следующее определение фрактала: "Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа которого строго больше его топологической размерности.Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

Самоподобие.

Самоподобие означает, что объект может быть построен на основе любой своей части.

Подобие части и целого означает масштабную инвариантность. Легко убедиться, что нет ни одной реальной структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесконечное число раз и которая выглядела бы при этом неизменной. Тем не менее, принцип самоподобия в приближенном виде имеется в природе: в линиях берегов морей и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и в иерархической организации живых систем.

Самоподобие предполагает наличие некоего инварианта, сохраняющегося при преобразованиях. Наличие инварианта говорит об определенной симметрии самоподобных объектов. О самоподобии говорят нам русские матрешки, теория преформации (предварительное формирование), свойства голограмм.

Для изучения фракталов следует разделить их на определенные классы. Одной из общепринятых классификаций является классификация фракталов на геометрические, алгебраические и стохастические.

Сейчас мы разберем самую наглядную из них – геометрические фракталы.

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений.

Уже рассмотренная нами кривая Пеано является геометрическим фракталом. Классические примеры геометрических фракталов – Кривая Коха, Лист, Треугольник Серпинского.

Алгоритм построения геометрических фракталов состоит в следующем:

  1. задается начальное условие (нулевое поколение): фигура, на основании которой строится фрактал;
  2. задается процедура, которая преобразует определенным образом нулевое поколение (генератор);
  3. в результате бесконечного повторения заданной процедуры, получается геометрический фрактал.

Это самая крупная группа фракталов. Они оправдывают своё название, так как строятся на основе алгебраических формул, иногда довольно простых. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от начальных условий. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно перейдет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов. Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона и т.д.

Фракталы, при построении которых случайным образом изменяются какие-либо параметры, называют стохастическими. Термин стохастичность происходит от греческого слова, обозначающего “предположение”. С помощью компьютерной программы можно построить какие-нибудь объекты живой природы, например, ветку дерева. Процесс конструирования этого геометрического фрактала задаётся более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых.

Существует еще одна интересная классификация фракталов.

Фракталы классифицируются на два класса: рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учеными, и они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами.

В действительности это не так, т.к. у дерева не бесконечное число ветвей, и берег имеет не бесконечную длину. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования. Вводится максимальный и минимальный размеры, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

После открытия Бенуа Мандельбротом теории фракталов стало понятно, что данная теория способна удивительно точно описывать многие объекты и явления окружающего нас мира. Не удивительно, что теория фракталов и фрактальные алгоритмы в частности, нашли практическое применение в очень многих областях науки и технике.

Для студентов колледжа — будущих IT – специалистов, представляет интерес применение фракталов в следующих областях:

В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальные антенны – относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений.

Фрактальная антенна с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе.

Фрактальное сжатие изображений.

Фрактальное сжатие изображений — алгоритм сжатия изображений с потерями, основанный на применении систем итерируемых функций к изображениям. (Системы итерируемых функций или просто СИФ — представляет собой систему функций из некоторого фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое.) Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия (лучшие примеры — до 1000 раз (при приемлемом визуальном качестве) для реальных фотографий природных объектов, что недоступно для других алгоритмов сжатия изображений в принципе.

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.

С использованием фракталов могут строиться не только ирреальные изображения, но и вполне реалистичные (например, фракталы нередко используются при создании облаков, снега, береговых линий, деревьев и кустов и др.). А создаются подобные фрактальные шедевры (равно как и векторные) путем математических расчетов (с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности). В отличие от векторной графики, базовым элементом фрактальной графики является сама математическая формула — это означает, что никаких объектов в памяти компьютера не хранится, и изображение (как бы ни было оно замысловато) строится исключительно на основе уравнений.

Система назначения IP-адресов в сети “Netsukuku” использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети “Netsukuku” хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а, следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Читайте также:  Топ крутых картинок на аву

Теория фракталов используется при изучении структуры Вселенной. Появляются теории о том, что наша Вселенная — фрактал. Возможно, именно фракталы раскроют тайну бесконечности нашей Вселенной.

Студентам нашего колледжа, а особенно будущим IT – специалистам, необходимо изучать фракталы, раздел фрактальной геометрии в математике; овладеть уверенными навыками в применении программ для генерации фрактальных изображений и фракталов для повышения своего профессионального уровня, успешной профессиональной деятельности.

11 класс, МБОУ «Спасская СОШ», Вологодский муниципальный район

Митенева Светлана Феодосьевна

научный руководитель, учитель математики МБОУ «Спасская СОШ» ВМР

Бенуа Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в том, что она неспособна достаточно точно описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, линии берега — это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно».

1. Из истории создания фракталов

Фрактальная геометрия возникла в XIX веке. Кантор с помощью простой повторяющейся процедуры превратил линию в набор несвязанных точек, при этом была получена так называемая Пыль Кантора [2].

Рисунок 1. Пыль Кантора

Он брал линию и удалял из нее центральную треть, после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Накопление данных о таких странных объектах шло вплоть до XX века.

Так было, пока за них не взялся Бенуа Р. Мандельброт (Benoit Mandelbrot), математик из Исследовательского центра им. Томаса Уотстона при IBM. Он является отцом современной фрактальной геометрии и именно он предложил термин «фрактал» для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к более мелким масштабам. Работая в IBM, Бенуа Р. Мандельброт изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Со временем, сопоставив некоторые факты, он пришел к открытию фрактальной геометрии — нового направления в математике.

2. Определение фрактала

Слово “fractal” ввел Бенуа Р. Мандельброт от латинского слова “fractus”, что означает разбитый, т. е. поделенный на части [2]. Одним из определений фрактала является следующее: фрактал — это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого. То есть фрактал — это такой объект, для которого не важно с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. Структуры большие по масштабу полностью повторяют структуры меньшие по масштабу.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Размерность объекта показывает по какому закону растет его внутренняя область. Аналогичным образом возрастает «объем» фрактала с ростом его размеров, но его размерность — величина не целая, а дробная. Поэтому граница фрактальной фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что она размыта и вся состоит из спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру.

Фракталы делятся на геометрические фракталы, алгебраические фракталы, системы итерируемых функций, стохастические фракталы

3.1. Геометрические фракталы

История создания фракталов началась с геометрических фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. При построении данных видов фракталов поступают так: берется набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Затем к ним применяется набор правил, который преобразует их в некоторую геометрическую фигуру. И потом к каждой части этой фигуры применяют этот же набор правил. С каждым шагом фигура становится все сложнее и после бесконечного количества преобразований получается геометрический фрактал.

Из геометрических фракталов очень интересным и знаменитым является снежинка Коха, которая строится на основе равностороннего треугольника. Каждая линия треугольника заменяется на 4 линии длиной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, длина кривой увеличивается на треть. Если сделать бесконечное число таких шагов, то получится фрактал — снежинка Коха бесконечной длины [2].

Рисунок 2. Снежинка Коха

Рисунок 3. Треугольник Серпинского

Для построения треугольника Серпинского из центра треугольника мысленно вырезается кусок треугольной формы, который упирается своими вершинами в середины сторон исходного треугольника. Для трех образовавшихся треугольников повторятся эта же процедура и так до бесконечности. При этом любой из образовавшихся треугольников представляет точную копию целого.

3.2. Алгебраические фракталы

Вторая группа фракталов — алгебраические фракталы. Они получили свое название за то, что строятся на основе алгебраических формул. Существует несколько методов получения алгебраических фракталов. Один из них представляет собой многократный расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z — комплексное число, а f — некоторая функция. Для построения фрактала необходимы комплексные числа. Комплексное число — это число вида a+bi, состоящее из действительной и мнимой частей. Комплексное число можно изобразить точкой на координатной плоскости, у которой действительная часть a — это координата Х, а коэффициент b при мнимой части — это координата Y.

Рисунок 4.Множество Жюлиа

Рисунок 5.Множество Мандельброта

4. Применение фракталов

Фракталы нашли широкое применение в различных областях науки и техники. В компьютерной графике фракталы применяются для построения изображений природных объектов, таких, как поверхности морей, деревья, кусты, горные ландшафты и т. д. [1] С использованием фракталов могут строиться вполне реалистичные изображения: например, фракталы часто используются при создании облаков, береговых линий, снега, кустов, деревьев и др.).

Поэтому применять фрактальные изображения можно в самых разных сферах: создание обычных текстур и фоновых изображений, фантастических ландшафтов для компьютерных игр и книжных иллюстраций.

Читайте также:  Где в яндексе дополнения

Создаются подобные фрактальные изображения путем математических расчетов, но базовым элементом фрактальной графики (в отличие от векторной графики) является математическая формула. Это означает, что в памяти компьютера никаких объектов не сохраняется и изображение строится только на основе уравнений.

Рисунок 6. Природные фракталы

Рисунок 7. Фрактальные снежинки

В физике фракталы возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как пламя, турбулентное течение жидкости, облака, сложные процессы диффузии-адсорбции и т. п. При моделировании пористых материалов (в нефтехимии) также используются фракталы. Для описания систем внутренних органов и моделирования популяций они применяются в биологии.

В последнее время растет популярность фракталов у трейдеров и используется для анализа состояния биржевых рынков. Фракталы рынка являются одним из индикаторов в торговой системе Била Вильямса. Считается, что он же впервые и ввел это название в трейдинг.

Рисунок 8. Котировки акций на Нью-Йоркской бирже

Таким образом, исследования, связанные с фракталами, меняют многое из привычных представлений об окружающем нас мире, о самых обычных предметах, таких как облака, реки, деревья, горы, травы и др. [1].

Что превнес компьютер в нашу жизнь нового, неведомого до него? Главное — он позволил увидеть и полюбить фракталы, которые завораживают своей таинственностью, проявляясь в различных областях: механике, биологии, географии, метеорологии, философии и даже истории.

1.Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство // Математика в школе — 2005. — № 4. — С. 76—78.

Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.

Скачать:

Вложение Размер
работа 106 КБ
презентация 2.4 МБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия №2 г. Сальска

«Кафедра естественно-математических дисциплин»

тема: « Фракталы в нашей жизни ».

Христолюбова Ангелина Михайловна,

ученица 8 «Б» класса.

Кузьминчук Елена Сергеевна,

учитель математики и информатики.

История появления понятия «фрактал»

Блох больших кусают блошки

Блошек тех – малютки-крошки,

Нет конца тем паразитам,

Как говорят, ad infinitum.

Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.

Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?

В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее, даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.

Сегодня вряд ли можно найти человека, занимающегося или интересующегося наукой, который не слышал бы о фракталах. Глядя на них трудно поверить, что это не творения природы и за ними скрываются математические формулы. Фракталы поразительно напоминают объекты живой и неживой природы вокруг нас. Словом они "как настоящие". Скорее всего, именно поэтому, однажды увидев, человек уже не может их забыть.

Любопытную мысль приводит в своей книге "Фрактальная геометрия природы" американский математик Бенуа Мандельброт: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в том, что она неспособна достаточно точно описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные – задачи исследования морфологии аморфного. Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать".

Все, что существует в реальном мире, является фракталом – это и есть наша гипотеза , а цель данной работы показать, что математика не бездушный предмет, она может выражать духовный мир человека в отдельности и в обществе в целом.

Объектом исследования выступают фракталы в математике и в реальном мире. В процессе работы нами были выделены следующие задачи исследования :

  1. Проанализировать и проработать литературу по теме исследования.
  2. Рассмотреть и изучить различные виды фракталов.
  3. Дать представление о фракталах, встречающихся в нашей жизни.

Актуальность заявленной темы определяется, в первую очередь, предметом исследования , в качестве которого выступает фрактальная геометрия.

Структура исследовательской работы определялась логикой исследования и поставленными задачами. Она включает в себя введение, две главы, заключение, список использованной литературы, приложения.

Ссылка на основную публикацию
Фотоаппарат сони dsc h50
Название объектива : Carl Zeiss Vario-Tessar Количество групп оптических элементов : 8 Количество оптических элементов : 13 Цифровой Zoom :...
Файл cms что это
Файлы формата CMS открываются специальными программами. Существует 2 типа форматов CMS, каждый из которых открывается разными программами. Чтобы открыть нужный...
Файл менеджер для windows 10 на русском
Менеджер файлов осуществляет просмотр, копирование, управление медиафайлами и папками на персональном компьютере. Он предоставляет функцию быстрого перемещения объектов для ускорения...
Фотоаппараты до 10000 рублей рейтинг
На российском рынке представлено настолько много фотоаппаратов и камер, что найдется модель на любой вкус. В том числе есть действительно...
Adblock detector