Формулы в координатах геометрия

Формулы в координатах геометрия

Все формулы по физике и математике

Темы по физике

  • Механика (56)
  • Кинематика (19)
  • Динамика и статика (32)
  • Гидростатика (5)
  • Молекулярная физика (25)
    • Уравнение состояния (3)
    • Термодинамика (15)
    • Броуновское движение (6)
    • Прочие формулы по молекулярной физике (1)
    • Колебания и волны (22)
    • Оптика (9)
      • Геометрическая оптика (3)
      • Физическая оптика (5)
      • Волновая оптика (1)
      • Электричество (39)
      • Атомная физика (15)
      • Ядерная физика (3)
      • Темы по математике

        • Квадратный корень, рациональные переходы (1)
        • Квадратный трехчлен (1)
        • Координатный метод в стереометрии (1)
        • Логарифмы (1)
        • Логарифмы, рациональные переходы (1)
        • Модуль (1)
        • Модуль, рациональные переходы (1)
        • Планиметрия (1)
        • Прогрессии (1)
        • Производная функции (1)
        • Степени и корни (1)
        • Стереометрия (1)
        • Тригонометрия (1)
        • Формулы сокращенного умножения (1)

        Сообщение от администратора:

        Ребята! Кто давно хотел выучить английский?
        Переходите по моей ссылке и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng!
        Занимаюсь там сам — очень круто. Прогресс налицо.

        В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

        Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
        Жмите СЮДА

        Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

        Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):

        Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

        Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

        Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
        A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

        Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
        A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
        A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

        Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

        Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

        Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

        Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

        Вычисление координат векторов

        А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.

        Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

        Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

        Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

        Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
        AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

        Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
        AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

        Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
        BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

        Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

        Читайте также:  Можно ли вернуть деньги в стиме

        Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

        Вычисление направляющих векторов для прямых

        Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

        Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую.

        Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый для прямой:

        Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

        Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведены прямые AC и BD1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

        Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

        Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть направляющий вектор.

        Теперь разберемся с прямой BD1. На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D1 = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

        Ответ: AC = (1; 1; 0); BD1 = (− 1; 1; 1)

        Задача. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проведены прямые AB1 и AC1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

        Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA1, ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

        Для начала разберемся с прямой AB1. Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B1 = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

        Теперь найдем направляющий вектор для AC1. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C1 иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

        Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

        Вычисление нормальных векторов для плоскостей

        Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

        Другими словами, — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором.

        Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

        Читайте также:  Последовательность решения примеров со скобками

        Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно — и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

        Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение A1BC1. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA1 соответственно.

        Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A1, B и C1, то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

        Подставим вместо x, y и z координаты точки A1 = (0; 0; 1). Имеем:
        A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

        Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C1 = (1; 1; 1) получим уравнения:
        A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
        A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

        Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
        B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

        Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

        Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение AA1C1C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA1 соответственно.

        В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

        Подставим вместо x, y и z координаты точки A1 = (0; 0; 1). Имеем:
        A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

        Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
        A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

        Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

        Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 — без ущерба для общности решения и правильности ответа.

        Координаты середины отрезка

        Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

        Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (xa; ya; za) и B = (xb; yb; zb). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

        Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

        Задача. Единичный куб ABCDA1B1C1D1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A1B1. Найдите координаты этой точки.

        Поскольку точка K — середина отрезка A1B1, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A1 = (0; 0; 1) и B1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

        Задача. Единичный куб ABCDA1B1C1D1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A1B1C1D1.

        Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A1L = C1L, т.е. точка L — это середина отрезка A1C1. Но A1 = (0; 0; 1), C1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:

        Угол между прямыми а и b

        Углом между прямыми в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (или дополняет его до 180 град).

        Какой алгоритм использует репетитор по математике для поиска угла?

        1) Выбираем любые вектора и , имеющие направления прямых а и b (параллельные им).
        2) Определяем координаты векторов и по соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно отнять координаты начала).
        3) Подставляем найденный координаты в формулу:
        . Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

        Нормаль к плоскости

        Нормалью к плоскости называется любой вектор, перпендикулярный к этой плоскости.
        Как найти нормаль? Для поиска координат нормали достаточно узнать координаты любых трех точек M, N и K, лежащих в данной плоскости. По этим координатам находим координаты векторов и и требуем выполнения условий и . Приравнивая скалярные произведение векторов к нулю, составляем систему уравнений с тремя переменными, из которой можно найти координаты нормали.

        Замечание репетитора по математике : Совсем не обязательно решать систему полностью, ибо достаточно подобрать хотя бы одну нормаль. Для этого можно подставить вместо какой-нибудь из ее неизвестных координат любое число (например единицу) и решить систему двух уравнений с оставшимися двумя неизвестными. Если она решений не имеет, то это значит, что в семействе нормалей нет той, у которой по выбранной переменной стоит единица. Тогда подставьте единицу вместо другой переменной (другой координаты) и решите новую систему. Если опять промахнетесь, то Ваша нормаль будет иметь единицу по последней координате, а сама она окажется параллельной какой-нибудь координатной плоскости (в таком случае ее легко найти и без системы).

        Угол между прямой и плоскостью

        Допустим, что нам заданы прямая и плоскость координатами направляющего вектора и нормали
        Угол между прямой и плоскость вычисляется по следующей формуле:

        Угол между плоскостями

        Пусть и — две любые нормали к данным плоскостям. Тогда косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями:

        Уравнение плоскости в пространстве

        Точки, удовлетворяющие равенству образуют плоскость с нормалью . Коэффициент отвечает за величину отклонения (параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью . Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль (как это описано выше), а затем подставить координаты любой точки плоскости вместе с координатами найденной нормали в уравнение и найти коэффициент .

        Расстояние от точки до плоскости


        Для вычисления расстояния от точки до плоскости , заданной уравнением можно использовать следующую формулу:


        В знаменателе стоит длина нормали, а числителе — значение выражения из левой части уравнения плоскости в точке

        Комментарий репетитора по математике :

        Методом координат можно находить не только углы и расстояния в пространстве, но и
        1) площади многоугольников (треугольника, параллелограмма), расположенных в заданной плоскости.
        2) объемы простейших многогранников (параллелепипедов и пирамид).

        Для понимания таких формул нужно изучить понятия векторного и смешанного произведения векторов, а также определителя матрицы. В скором времени я сделаю для вычисления объемов соответствующую справочную страничку.

        Средства аналитической геометрии репетитор по математике практически не использует в работе со средним и тем более слабым учеником. И очень жаль, что загруженность среднестатистического сильного школьника не позволяет репетитору провести более-менее серьезную работу на уровне определений из высшей математики и с соответствующей практикой решения задач. Поэтому я часто ограничиваюсь простым сообщением формул и демонстрацией одного – двух примеров их использования. В школьной программе не предусмотрено время для изучения векторных приемов вообще, однако на ЕГЭ Вы имеете право решать задачу С2 любым из известных науке способов. Отсюда мораль: учите координаты. Расширенная подготовка к ЕГЭ по математике с изучением приемов аналитической геометрии даст Вам мощное и универсальное средство для решения огромного класса задач типа С2. Пользуйтесь этой страничкой на здоровье!

        Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва (Строгино).

        Спасибо Вам за этот материал,все наглядно и понятно.

        Ссылка на основную публикацию
        Файл cms что это
        Файлы формата CMS открываются специальными программами. Существует 2 типа форматов CMS, каждый из которых открывается разными программами. Чтобы открыть нужный...
        Унитаз лира киров отзывы
        Сырье также используется импортное, тщательно отобранное и экологически чистое — глина, гипс, каолин, полевой шпат, красители. Гарантия на производимые компанией...
        Унитаз ресса киров отзывы
        Мы предлагаем унитазы росссийского производителя Роза (Киров). В нашем каталоге собрано 30 моделей по цене от 3 090р. Перейдите по...
        Файл менеджер для windows 10 на русском
        Менеджер файлов осуществляет просмотр, копирование, управление медиафайлами и папками на персональном компьютере. Он предоставляет функцию быстрого перемещения объектов для ускорения...
        Adblock detector