Формула ускорения свободного падения на поверхности планеты

Формула ускорения свободного падения на поверхности планеты

Ускорение свободного падения на любом расстоянии от Земли, а также на других планетах можно определить по формуле силы земного притяжения.

Cила тяжести равна гравитационной силе, т.е.

На поверхности Земли

На расстоянии r от центра Земли

Здесь:
g — ускорение свободного падения на расстоянии r от цента Земли (м/сек 2 ),
gЗемли — ускорение свободного падения на поверхности Земли (м/сек 2 ),
r — расстояние от цента Земли (метр),
rЗемли — средний радиус Земли 6.37 · 10 6 (метр),
m — масса тела (кг),
mЗемли — масса Земли 5.97 · 10 24 (кг),
γ — гравитационная постоянная 6.67 · 10 -11 (м 3 /(кг · сек 2 )),

Разделив выражение (1) на выражение (2), получим

Ускорение свободного падения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от цента Земли. Формула ускорения свободного падения справедлива и для других небесных тел.

Сократив выражение (2), получим ускорение свободного падения:

Ускоре́ние свобо́дного паде́ния на пове́рхности [1] некоторых небесных тел, м/с 2 и g

Земля 9,81 м/с 2 1,00 g Солнце 273,1 м/с 2 27,85 g
Луна 1,62 м/с 2 0,165 g Меркурий 3,68—3,74 м/с 2 0,375—0,381 g
Венера 8,88 м/с 2 0,906 g Марс 3,86 м/с 2 0,394 g
Юпитер 23,95 м/с 2 2,442 g Сатурн 10,44 м/с 2 1,065 g
Уран 8,86 м/с 2 0,903 g Нептун 11,09 м/с 2 1,131 g

Ускоре́ние свобо́дного паде́ния (ускорение силы тяжести) — ускорение, придаваемое телу силой тяжести, при исключении из рассмотрения других сил. В соответствии с уравнением движения тел в неинерциальных системах отсчёта [2] ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «же») варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,82 м/с² на полюсах [3] . Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет g = 9,80666 м/с² [4] [5] . Стандартное значение g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно принимают равным 9,81, 9,8 или, грубо, 10 м/с².

Содержание

Физическая сущность [ править | править код ]

Для определённости будем считать, что речь идёт об ускорении свободного падения на Земле. Эту величину можно представить как векторную сумму двух слагаемых: гравитационного ускорения, вызванного земным притяжением, и центростремительного ускорения, связанного с вращением Земли.

Центростремительное ускорение [ править | править код ]

Центростремительное ускорение является следствием вращения Земли вокруг своей оси. Именно центростремительное ускорение, вызванное вращением Земли вокруг своей оси, вносит наибольший вклад в неинерциальность системы отсчёта, связанную с Землёй. В точке, находящейся на расстоянии a от оси вращения, центростремительное ускорение равно ω 2 a , где ω — угловая скорость вращения Земли, определяемая выражением ω = 2π/T , в котором Т — время одного оборота вокруг своей оси (звёздные сутки), равное для Земли 86164 секунды. Центростремительное ускорение направлено по нормали к оси вращения Земли. На экваторе оно составляет 3,39636 см/с 2 , причем на других широтах направление вектора его не совпадает с направлением вектора гравитационного ускорения, направленного к центру Земли.

Гравитационное ускорение [ править | править код ]

Гравитационное ускорение на различной высоте h над уровнем моря

h , км g, м/с 2 h , км g, м/с 2
9,8066 20 9,7452
1 9,8036 50 9,6542
2 9,8005 80 9,5644
3 9,7974 100 9,505
4 9,7943 120 9,447
5 9,7912 500 8,45
6 9,7882 1000 7,36
8 9,7820 10 000 1,50
10 9,7759 50 000 0,125
15 9,7605 400 000 0,0025

В соответствии с законом всемирного тяготения, величина гравитационного ускорения на поверхности Земли или космического тела связано с его массой M следующим соотношением:

g = G M r 2 <displaystyle g=G<frac <2>>>> ,

где G — гравитационная постоянная (6,67408(31)·10 −11 м 3 ·с −2 ·кг −1 ) [6] , а r — радиус планеты. Это соотношение справедливо в предположении, что плотность вещества планеты сферически симметрично. Приведённое соотношение позволяет определить массу любого космического тела, включая Землю, зная её радиус и гравитационное ускорение на её поверхности, либо наоборот по известной массе и радиусу определить ускорение свободного падения на поверхности.

Читайте также:  Халф лайф 2 главный герой

Исторически масса Земли была впервые определена Генри Кавендишем, который провёл первые измерения гравитационной постоянной.

Гравитационное ускорение на высоте h над поверхностью Земли (или иного космического тела) можно вычислить по формуле:

g ( h ) = G M ( r + h ) 2 <displaystyle g(h)=<frac <(r+h)^<2>>>> , где M — масса планеты.

Ускорение свободного падения на Земле [ править | править код ]

Ускорение свободного падения у поверхности Земли зависит от широты, времени суток, атмосферного давления и других факторов. Приблизительно оно может быть вычислено (в м/с²) по эмпирической формуле [7] [8] :

g = 9,780 318 ( 1 + 0,005 302 sin 2 ⁡ φ − 0,000 006 sin 2 ⁡ 2 φ ) − 0,000 003086 h , <displaystyle g=9<,>780318(1+0<,>005302sin ^<2>varphi -0<,>000006sin ^<2>2varphi )-0<,>000003086h,> где φ <displaystyle varphi > — широта рассматриваемого места, h <displaystyle h> — высота над уровнем моря в метрах.

Полученное значение лишь приблизительно совпадает с ускорением свободного падения в данном месте. При более точных расчётах необходимо использовать одну из моделей гравитационного поля Земли, дополнив её поправками, связанными с вращением Земли, приливными воздействиями и другими факторами.

Пространственные изменения гравитационного поля Земли (гравитационные аномалии) связаны с неоднородности плотности в её недрах, что может быть использовано для поиска залежей полезных ископаемых методами гравиразведки.

Почти везде ускорение свободного падения на экваторе ниже, чем на полюсах, за счет центробежных сил, возникающих при вращении планеты, а также потому, что радиус r на полюсах меньше, чем на экваторе из-за сплюснутой формы планеты. Однако места экстремально низкого и высокого значения g несколько отличаются от следствий из этой упрощённой модели. Так, самое низкое значение g зафиксировано на горе Уаскаран в Перу (9,7639 м/с²) в 1000 км южнее экватора, а самое большое (9,8337 м/с²) — в 100 км от северного полюса [9] .

Ускорение свободного падения для некоторых городов
Город Долгота Широта Высота над уровнем моря, м Ускорение свободного падения, м/с 2
Алматы 76,85 в.д. 43,22 с.ш. 786 9.78125
Берлин 13,40 в.д. 52,50 с.ш. 40 9,81280
Будапешт 19,06 в.д. 47,48 с.ш. 108 9,80852
Вашингтон 77,01 з.д. 38,89 с.ш. 14 9,80188
Вена 16,36 в.д. 48,21 с.ш. 183 9,80860
Владивосток 131,53 в.д. 43,06 с.ш. 50 9,80424
Гринвич 0,0 в.д. 51,48 с.ш. 48 9,81188
Каир 31,28 в.д. 30,07 с.ш. 30 9,79317
Киев 30,30 в.д. 50,27 с.ш. 179 9,81054
Мадрид 3,69 в.д. 40,41 с.ш. 667 9,79981
Минск 27,55 в.д. 53,92 с.ш. 220 9,81347
Москва 37,61 в.д. 55,75 с.ш. 151 9,8154
Нью-Йорк 73,96 з.д. 40,81 с.ш. 38 9,80247
Одесса 30,73 в.д. 46,47 с.ш. 54 9.80735
Осло 10,72 в.д. 59,91 с.ш. 28 9,81927
Париж 2,34 в.д. 48,84 с.ш. 61 9,80943
Прага 14,39 в.д. 50,09 с.ш. 297 9,81014
Рим 12,99 в.д. 41,54 с.ш. 37 9,80312
Стокгольм 18,06 в.д. 59,34 с.ш. 45 9,81843
Токио 139,80 в.д. 35,71 с.ш. 18 9,79801

Измерение [ править | править код ]

Ускорение свободного падения у поверхности Земли может быть измерено посредством гравиметра. Различают две разновидности гравиметров: абсолютные и относительные. Абсолютные гравиметры измеряют ускорение свободного падения непосредственно. Относительные гравиметры, некоторые модели которых действуют по принципу пружинных весов, определяют приращение ускорения свободного падения относительно значения в некотором исходном пункте.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли или другой планеты может быть также вычислено на основе данных о вращении планеты и её гравитационном поле. Последнее может быть определено посредством наблюдения за орбитами спутников и движения других небесных тел вблизи рассматриваемой планеты.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Читайте также:  1С фильтр таблицы значений

На предыдущем уроке мы обсудили вопрос, связанный с законом всемирного тяготения. Теперь перед нами стоит задача – рассмотреть, как этот закон связан с уже известным ускорением свободного падения. Ускорение свободного падения впервые определил итальянский ученый Галилео Галилей. Как вы помните, он измерял ускорение движения тел, которые двигались по наклонной плоскости, и ему удалось установить, что предельное ускорение таких тел (а это и есть ускорение свободного падения) составляет .

Вывод формулы для ускорения свободного падения на основании закона всемирного тяготения

Однако почему именно такое значение у этого ускорения, стало ясно только после открытия закона всемирного тяготения. Вспомним, что сила тяжести на Земле – это проявление действия закона всемирного тяготения для тел, которые находятся на поверхности Земли.

Рис. 1. Сила тяжести, действующая на тело на Земле

При этом вся масса Земли условно полагается сосредоточенной в ее центре. Радиус Земли – это расстояние между телами (рис. 1). Само тело, которое находится над поверхностью Земли, – то самое тело, которое притягивается. Запишем соответствующие формулы.

Сила тяжести на Земле:

Здесь

Обратите внимание: ускорение свободного падения зависит от массы Земли и от радиуса Земли. Если они будут изменяться, значит, будет изменяться и ускорение свободного падения.

Зависимость ускорения свободного падения от географической широты и других параметров. Искусственные спутники Земли

Как известно, Земля по форме не идеальный шар, а тело, которое немного сплюснуто с полюсов, поэтому полярный радиус несколько меньше, чем экваториальный (рис. 2). В этом случае надо понимать, что ускорение свободного падения на полюсе будет больше, а на экваторе – меньше. В общем случае ускорение свободного падения зависит от широты местности.

Рис. 2. Разность экваториального и полярного радиусов

Необходимо отметить еще вот что. Земля вращается, и вращательное движение Земли тоже влияет на ускорение свободного падения. Ускорение свободного падения на экваторе будет отличаться еще и по этой причине. Изменение ускорения свободного падения по всем вышеуказанным причинам достаточно незначительное, поэтому мы считаем, что ускорение свободного падения на Земле – величина постоянная и составляет .

Как видите, ускорение свободного падения зависит от радиуса Земли, значит, если увеличивать радиус, то ускорение свободного падения будет уменьшаться. Как такое может быть? Если мы поднимаем тело над поверхностью Земли (например, тот же спутник), то расстояние будет определяться суммой радиуса Земли и высоты над ее поверхностью (рис. 3).

Рис. 3. Тело, поднятое над поверхностью Земли.

В этом случае ускорение свободного падения тоже будет уменьшаться.

Ускорение свободного падения обратно пропорционально квадрату расстояния. Поэтому если высота будет равна радиусу Земли, то расстояние будет в 2 раза больше от центра Земли, чем для тела на поверхности. В этом случае ускорение свободного падения уменьшится в 4 раза.

Следует заметить, что многие спутники летают на небольшом расстоянии, приблизительно 200–300 км от поверхности Земли. На этом расстоянии ускорение свободного падения изменяется, но незначительно, поэтому мы будем считать, что в этом случае ускорение все-таки величина постоянная.

Читайте также:  Panasonic kx tg8041ru инструкция

Обратите внимание на тот факт, что сила тяжести, как и ускорение свободного падения, с высотой будет убывать (по мере удаления от Земли сила тяжести будет убывать).

Как изменение делает нас богаче

Дело в том, что измерение ускорения свободного падения в различных точках Земли является мощнейшим способом геологической разведки. Таким способом (без рытья шахт) можно определять наличие полезных ископаемых в толще земной коры. Первый способ: измерение при помощи пружинных весов (рис. 4). Они обладают феноменальной чувствительностью.

Рис. 4. Геологические весы

Второй способ: измерение при помощи математического маятника (груз, подвешенный на длинной нити). Оказывается, что период (время одного полного колебания) колебания такого маятника зависит от ускорения свободного падения.

Чем больше ускорение свободного падения, тем меньше период. То есть, измеряя период маятника в разных точках Земли, можно определить изменение ускорения свободного падения. Геологи используют очень точные маятники (рис. 5), которые позволяют измерять ускорение свободного падения с точностью до миллионных долей.

Рис. 5. Прибор с маятником для разведки полезных ископаемых

Что является нормой для величины ускорения свободного падения?

Как известно Земля имеет фору геоида (сплюснута у полюсов). Это значит, что значение ускорения свободного падания у полюсов больше чем на экваторе. Но на одной и той же географической широте ускорение свободного падения, при прочих равных условиях, должно быть одинаково. Измеряя в рамках одной широты ускорение свободного падения в разных точках, можно судит о наличии полезных ископаемых.

Представьте себе, что вы находитесь на широте Москвы. Допустим, норма ускорения свободного падения на этой широте равна На рис. 6 изображены зоны, где ускорение свободного падения больше (красные области) или меньше (синие области).

Рис. 6. Области, где ускорение свободного падения отличается от

Залежи тяжелых веществ или наличие пустот оказывают влияние на направление ускорения свободного падения. Если вы проводите измерение

Рис. 7. Маятник в нормальных условиях и под воздействием массивного объекта

Ускорение свободного падения на других небесных телах на примере Луны

Теперь обсудим то, как определяется ускорение свободного падения на других телах.

Обратимся к уравнению, которое мы использовали для определения ускорения свободного падения на поверхности Земли: .

В этом уравнении вместо массы и радиуса Земли можно подставить массу и радиус любой другой планеты. Тогда мы получим ускорение свободного падения на любой из интересующих нас планет. В первую очередь нас интересует Луна. Ускорение свободного падения на Луне будет приблизительно равно: .

Как видно, ускорение свободного падения на Луне сильно отличается от ускорения свободного падения на Земле. Значит, если вдруг мы окажемся на Луне, мы почувствуем себя гораздо легче, чем на родной Земле. Например, у первых лунных космонавтов скафандр был массой .

Сила тяжести, действующая на скафандр на Земле:

Сила тяжести, действующая на скафандр на Луне:

Такую силу тяжести, как на Луне, на Земле бы имел скафандр массой :

на разных небесных телах: сравнительная таблица

Значение величины ускорения свободного падения равное является самым комфортным для человека. Рассмотрим, какие значения принимает ускорение свободного падения на других небесных телах (Солнце, планеты, спутники).

Чем массивнее небесное тело, тем больше .

Рассмотрим таблицу для ускорения свободного падения для различных небесных тел.

«>

Ссылка на основную публикацию
Файл cms что это
Файлы формата CMS открываются специальными программами. Существует 2 типа форматов CMS, каждый из которых открывается разными программами. Чтобы открыть нужный...
Унитаз лира киров отзывы
Сырье также используется импортное, тщательно отобранное и экологически чистое — глина, гипс, каолин, полевой шпат, красители. Гарантия на производимые компанией...
Унитаз ресса киров отзывы
Мы предлагаем унитазы росссийского производителя Роза (Киров). В нашем каталоге собрано 30 моделей по цене от 3 090р. Перейдите по...
Файл менеджер для windows 10 на русском
Менеджер файлов осуществляет просмотр, копирование, управление медиафайлами и папками на персональном компьютере. Он предоставляет функцию быстрого перемещения объектов для ускорения...
Adblock detector