Число разделили на 8

Число разделили на 8

Делимость нацело числа на 8 зависит от последних трёх цифр в его записи.

Признак делимости на 8

Натуральное число делится без остатка на 8,

— если его запись оканчивается тремя цифрами, образующими число, которое делится без остатка на 8;

— если его запись оканчивается тремя нулями.

Проверить делимость на 8 трёхзначного числа проще всего непосредственным делением. Но и в этом случае есть признак.

Признак делимости трёхзначного числа на 8

(то есть его запись состоит из цифр a, b и c соответственно) делится без остатка на 8, если

(к умноженному на 4 числу сотен прибавляем удвоенное число десятков и число единиц и проверяем делимость полученной суммы на 8).

1) Определить, какие из данных трёхзначных чисел делятся без остатка на 8:

952; 528; 236; 794.

Делимость этих чисел на 8 можно проверить непосредственным делением. Если же использовать признак делимости на 8 трёхзначного числа, получим:

4∙9+2∙5+2=48. Так как 48 делится на 8, то и 952 делится на 8.

4∙5+2∙2+8=32. 32 делится на 8, значит 528 также делится на 8.

4∙2+2∙3+6=20. Поскольку 20 не делится на 8, то и 236 не делится нацело на 8.

4∙7+2∙9+4=50. 50 не делится на 8, следовательно, 794 не делится без остатка на 8.

2) Какие из чисел делятся нацело на 8:

12320; 5246; 75000; 688975; 234984; 813758; 943552; 420783; 382268; 563000; 231608; 117376; 492170; 571824; 45657.

Прежде всего отбросим все нечётные числа:

688975, 420783, 45657 — они не делятся на 8 без остатка.

Выберем числа, запись которых оканчивается тремя нулями:

75000, 563000 — они делятся на 8.

В оставшихся числах проверяем делимость на 8 числа, образованного тремя последними цифрами:

12 320 делится на 8, так как 320 делится на 8 без остатка;

5 246 не делится на 8, так как 246 не делится на 8;

234 984 делится на 8, так как 984 кратно 8;

813 758 не делится на 8, поскольку 758 не делится на 8 без остатка;

943 552 делится на 8, потому что 552 делится на 8;

382 268 не делится на 8, так как 268 не делится на 8;

231 608 делится на 8, потому что 608 делится на 8;

117 376 делится на 8, так как 376 делится нацело на 8;

492 170 не делится на 8 без остатка, так как 170 не делится на 8;

571 824 делится на 8, потому что 824 кратно 8.

Ответ: 12320; 75000; 234984; 943552; 563000; 231608; 117376; 571824.

В статье рассматривается признак делимости на 8 с приведением его формулировки и примерами.

Признак делимости на 8, примеры

Формулировка звучит так: если число, составленное из последних цифр в записи целого а , делится на 8 тогда и все число делится на 8 ; когда число, составленное из трех последних, не делится на 8 , тогда и все число не делится на число 8 .

Читайте также:  Sml 482 hd base прошивка через lan

Приведенная формулировка говорит о том, что этот признак применим только для четырехзначных, пятизначных и так далее чисел. Данный метод безопасный и удобный, так как после всего можно выполнить проверку. Установка деления на 8 производится при помощи деления выражения на 8 .

Проверить, делится ли 58 296 на 8 .

Для решения задания нужно применить признак делимости на 8 . Для этого нужно взять последние 3 цифры числа и разделить столбиком на 8 . Получаем, что 296 нужно делить на 8 . Имеем, что

Очевидно, что 296 поделится на 8 без остатка. Тогда заданное число полностью поделится на 8 .

Когда последние три цифры имеют вид 024 , 086 , 002 , 008 , тогда необходимо отбросить нули и выполнять деление двузначных чисел.

При помощи признака делимости на 8 узнать, делится ли 920 072 на 8 .

Видно, что последние три цифры записываются как 072 , значит, будем иметь дело с числом 72 , разделим его на 8 . По признаку делимости видно, что заданное число делится на 8 без остатка.

Определить числа, которые поделятся на 8 из заданных − 900 007 , 21 008 , − 111 008 и 732 237 001 .

Воспользовавшись признаком делимости на 8 , нужно пересмотреть все цифры, находящиеся справа числа, то есть 007 , 008 , 008 , 001 . Отсюда видно, что будем работать с числами 7 , 8 , 8 , 1 . Очевидно, что только 8 поделится само на себя, значит, из выбранных только 21008 и — 111008 поделятся на 8 .

Ответ: − 900 007 и 732 237 001 на 8 не делятся, а 21 008 и − 111 008 делятся на 8 .

Когда записанное число имеет справа последние три цифры нули, то есть 23000 , — 980000 , тогда очевидно, что все число делится на 8 . Рассмотрим доказательство данного утверждения.

Число 1000 можно представить как 1 000 = 8 · 125 . Видно, что оно точно поделится на 8 .

Когда имеются числа, где в конце записаны 3 нуля, то очевидно, что нужно использовать правило умножения натуральных чисел на 1000 , которое поможет представить а в виде a = a 1 · 1 000 . Отсюда видно, что a 1 получим из числа а , когда заберем последние три цифры, расположенные справа. Очевидно, что 1000 делится на 8 , тогда и выражение a 1 · 1 000 будет делиться на 8 по свойствам делимости. Отсюда получили, что число а будет делиться на 8 без остатка.

Теперь делимость числа на 8 доказана, когда число оканчивается на три нуля. Благодаря свойству делимости, это утверждение верно для всех натуральных а .

Доказательство признака делимости на 8

Для доказательства делимости на 8 необходимо использовать представление натурального числа а , то есть любое число представить в виде a = a 1 · 1 000 + a 0 , где a 1 – это результат отбрасывания последних трех цифр, а a 0 – это есть последние цифры числа а . Для полного понятия запишем, что 234 698 = 234 · 1 000 + 698 .

Для доказательства нужно применять свойства делимости:

  • для деления нацело числа а на b необходимо и достаточно, чтобы модель числа а делился на модуль числа b ;
  • когда из равенства a = s + t все члены могут делиться на b , тогда и заданный член делится на b .
Читайте также:  Could not open ntfs volume

Переходим к доказательству признака делимости на 8 с достаточными и необходимыми условиями.

Чтобы целое число поделилось на 8 , необходимо и достаточно, чтобы число, состоящее из последних трех цифр записи числа а , делилось на 8 .

Пусть целое число обозначим за а . Тогда модуль числа а является натуральным числом. Необходимо представить его в виде a = a 1 · 1000 + a 0 .

Перейдем к доказательству необходимости. Пусть число а делится на 8 . Тогда нужно составить такое число, которое будет составлено из тех последних цифр заданного числа а , делящееся на 8 Отсюда получим, что a 0 делится на 8 .

Если а делится на 8 , тогда и его модуль тоже, исходя из первого свойств делимости. Исходя из равенства вида a = a 1 · 1000 + a 0 получим, что a 1 · 1 000 поделится на 8 , а по второму свойству делимости видно, что a 0 поделится на 8 без остатка. Необходимость доказана.

Доказательство достаточности начинается с того, что необходимо взять за a число, которое делится на 8 . Это приведет к тому, что и число а будет делиться на 8 .

Видно, что из равенства a = a 1 · 1000 + a 0 произведение вида a 1 · 1 000 поделится на 8 , что означает, a 0 также будет делиться на 8 . Делаем вывод, что и само число будет делиться на 8 . Достаточность доказана.

Другие случаи делимости на 8

Не всегда возможно установить делимость на 8 сразу, так как либо число, либо выражение не представлено в явном виде. Поэтому следует предварительно выполнить несколько преобразований.

Когда имеется буквенное выражение а , следует выяснить, будет ли выражение делиться на 8 , возникают трудности. В этом случае, исходя из свойства, все выражение должно делиться на 8 . Рассмотрим на примере.

Чаще всего, если имеется произведение, лучше применять формулу бинома Ньютона.

Выяснить, делится ли выражение вида 9 n + 16 n — 9 на 8 при n являющимся натуральным числом.

Нужно представить 9 как 8 + 1 и применить формулу бинома Ньютона. Тогда получаем выражение:

9 n + 16 n — 9 = ( 8 + 1 ) + 16 n — 9 = = ( C n 0 · 8 n + C n 1 · 8 n — 1 · + . . . + + C n n — 2 · 8 2 · 1 n — 2 + C n n — 1 · 8 · 1 n — 1 + C n n · 1 n ) + 16 n — 9 = = ( 8 n + C n 1 · 8 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 8 2 + n · 8 + 1 ) + 16 n — 9 = = 8 n + C n 1 · 8 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 8 2 + 24 n — 8 = = 8 · ( 8 n — 1 + C n 1 · 8 n — 2 + . . . + C n n — 2 · 8 1 + 3 n — 1 )

Получили результат, который делится на 8 , потому как имеется множитель в виде числа 8 , причем значение в скобках равняется натуральному числу n . Отсюда получаем, что данное по условию выражение будет делиться на 8 при любому натуральном значении n .

Заданное выражение можно разложить на множители или оно уже задается в таком виде. Следует учитывать то, что значение выражения с n при n = 8 · m , n = 8 · m + 1 , … , n = 8 · m + 7 , где m является целым числом, будет делиться на 8 , тогда и само заданное выражение поделится на 8 при любом целом значении n .

Доказать, что выражение вида n 5 + 7 · n 3 будет делиться на 8 при любом целом значении n .

Читайте также:  Е14 ошибка принтера mp250

Перейдем к разложению на множители выражения n 5 + 7 · n 3 = n 3 · ( n 2 + 7 )

Если n = 8 m , тогда получим, что:

n 3 · ( n 2 + 7 ) = ( 8 m ) 3 · 8 m 2 + 7 = 8 3 · m 3 · ( 64 m 2 + 7 )

Выражение будет делиться на m без остатка при любом целом значении числа m, потому как имеется множитель вида 8 3 , который тоже делится на 8 .

Когда n = 8 · m + 1 , получим, что

n 3 · ( n 2 + 7 ) = ( 8 m ) 3 · 8 m 2 + 7 = ( 8 m + 1 ) 3 · ( 64 m 2 + 16 m + 8 ) = = ( 8 m + 1 ) 3 · 8 · ( 8 m 2 + 2 m + 1 )

Значение такого произведения делится на 8 , когда m принимает значение любого целого числа, потому как в записи имеется множитель 8 .

Таким же образом выполняется при n = 8 · m + 2 , n = 8 · m + 3 , … , n = 8 · m + 7 , тогда получаем, что произведения также поделятся на 8 .

Мы доказали, что выражение, заданное по условию, будет делиться на 8 без остатка при любом целом n .

Имеются случаи, когда необходимо применять метод математической индукции.

Доказать при помощи математической индукции, что при n , равному любому натуральному числу, выражение вида 9 n + 16 n — 9 будет делиться на 8 .

Необходимо провести проверку при значении n = 1 , чтобы исходное выражение делилось на 8 Тогда получим, что 9 1 + 16 · 1 — 9 = 16 . Очевидно, что результат, равный 16 , делится на 8 без остатка.

Если предположить, что значение n = k , тогда выражение вида 9 n + 16 n — 9 делится на 8 и приобретает вид 9 k + 16 k — 9 , который также делится на число 8 .

По заданному предположению необходимо доказать, что 9 k + 16 k — 9 поделится на 8 , а исходное выражение поделится на 8 при значении n = k + 1 .

Тогда получим, что:

9 k + 1 + 16 · ( k + 1 ) — 9 = 9 · 9 k + 16 k + 7 = 9 · ( 9 k + 16 k — 9 ) — 128 k + 88 = = 9 · ( 9 k + 16 k — 9 ) — 8 · ( 16 k — 11 )

Видно, что полученная разность выражений вида 9 · ( 9 k + 16 k — 9 ) будет делиться на 8 , потому как 9 k + 16 k — 9 поделится на 8 , а произведение 8 · ( 16 k — 11 ) , исходя из выше написанного, также поделится на 8 , потому как имеет множитель в виде числа 8 . Отсюда следует, что полученная разность поделится на 8 . Видно, что искомая делимость на 8 найдена из выражения вида 9 k + 1 + 16 · ( k + 1 ) — 9 .

Данный пример был решен при помощи метода математической индукции, была доказана делимость выражения 9 n + 16 n — 9 на 8 без остатка, где n является любым целым натуральным числом.

Изучаем математику вместе!

Решение: а) 65432. Берём три последние цифры числа 65432 — получаем число 432. Число 432 делится на 8. Действительно, 432 = 400 + 32 = 8 ⋅ 50 + 8 ⋅ 4 = 8 ⋅ (50 + 4). Поэтому по признаку делимости число 65432 делится на 8. Ответ: делится.

б) 25314. Берём три последние цифры этого числа — получаем число 314. Это число на 8 не делится, так как оно не делится на 4 (по признаку делимости на 4): 14 не делится на 4. Поэтому и число 25314 не делится на 8. Ответ: не делится.

в) 1080. Составляем число из трёх последних цифр числа 1080 — получаем число 80 (ноль первым не пишем). Число 80 делится на 8, поэтому и число 1080 делится на 8. Ответ: делится.

Доказательство признака делимости на 8 смотрите в этой статье.

Ссылка на основную публикацию
Чем открыть файл html на компьютере
Автор: Юрий Белоусов · 21.11.2018 Каждый вебмастер знает, что такое HTML: это – язык гипертекстовой разметки, с помощью которой создается...
Фотоаппарат сони dsc h50
Название объектива : Carl Zeiss Vario-Tessar Количество групп оптических элементов : 8 Количество оптических элементов : 13 Цифровой Zoom :...
Фотоаппараты до 10000 рублей рейтинг
На российском рынке представлено настолько много фотоаппаратов и камер, что найдется модель на любой вкус. В том числе есть действительно...
Чем открыть файл mtf тесты
�������� (����.): ���� ����� MyTest �������� (���.): ���� ����� MyTest ��������: MTF ��� ���� ����� MyTest ������������ ����� ������ �����,...
Adblock detector